Comparaison de deux indicateurs de la régularité en variation des queues de distributions

Rym Worms

doi:10.1016/S1631-073X(02)02324-5

Comparaison de deux indicateurs de la régularité en variation des queues de distributions

Rym Worms ¹

¹ Laboratoire Raphael Salem, Université de Rouen, UMR CNRS 6085, site Colbert, 76 821 Mont-saint-Aignant cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 8, pp. 709-712.

Résumé
Abstract

Pour une loi de fonction de répartition (f.d.r.) F, nous comparons les hypothèses faites dans [4] pour étudier la vitesse de convergence vers 0, lorsque u→s₊(F), de d(u)= $\sup_{x \in [0, s_{+} (F) - u [} | {\bar{F}}_{u} (x) - {\bar{G}}_{γ} (\frac{x + u - α (u)}{σ (u)}) |$ , où ${\bar{F}}_{u}$ est la fonction de survie de la loi des excès au-delà de u, s₊(F)=sup{x,F(x)<1} est la borne supérieure du support de F et ${\bar{G}}_{γ}$ est la fonction de survie d'une loi de Pareto Généralisée, avec les hypothèses faites dans [2] pour étudier la vitesse de convergence vers 0, lorsque n→+∞, de ${\hat{d}}_{n} = \sup_{x \in ℝ} | F^{n} (x) - H_{γ} (\frac{x - α_{n}}{σ_{n}}) |$ , où H_γ est la f.d.r. d'une loi des extrêmes. Dans chaque cas, avait été introduit un indicateur lié à des hypothèses de variation régulière. Nous caractérisons des situations où ces deux indicateurs coı̈ncident et d'autres où ils diffèrent.

We compare assumptions used in [4] in order to study the rate of convergence to 0, as u→s₊(F), of $d (u) = \sup_{x \in [0, s_{+} (F) - u [} | {\bar{F}}_{u} (x) - {\bar{G}}_{γ} (\frac{x + u - α (u)}{σ (u)}) |$ , where ${\bar{F}}_{u}$ is the survival function of the excesses over u, s₊(F)=sup{x,F(x)<1} is the upper end point of the distribution function (d.f.) F and ${\bar{G}}_{γ}$ is the survival function of the Generalized Pareto Distribution, with assumptions used in [2] in order to study the rate of convergence to 0, as n→+∞, of ${\hat{d}}_{n} = \sup_{x \in ℝ} | F^{n} (x) - H_{γ} (\frac{x - α_{n}}{σ_{n}}) |$ , where H_γ is the d.f. of an extreme value distribution. In each case, an indicator linked to regular variation assumptions had been introduced. We characterize situations where these two indicators coincide, and others where they are different.

Reçu le : 2001-11-10
Révisé le : 2002-02-18
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02324-5

Affiliations des auteurs :

Rym Worms ¹

¹ Laboratoire Raphael Salem, Université de Rouen, UMR CNRS 6085, site Colbert, 76 821 Mont-saint-Aignant cedex, France

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Rym Worms. Comparaison de deux indicateurs de la régularité en variation des queues de distributions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 8, pp. 709-712. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02324-5. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02324-5/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Balkema; L. de Haan Residual life time at great age, Ann. Probab., Volume 2 (1974), pp. 792-801

[2] L. de Haan; S.I. Resnick Second-order regular variation and rates of convergence in extreme-value theory, Ann. Probab., Volume 24 (1996), pp. 97-124

[3] J. Pickands Statistical inference using extreme order statistics, Ann. Statist., Volume 3 (1975), pp. 119-131

[4] R. Worms Vitesse de convergence de l'approximation de Pareto généralisée de la loi des excès, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 333 (2001), pp. 65-70

Cité par Sources :

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