Le résultat principal est le suivant. Soit $\Omega$ un domaine borné, à frontière Lipschitzienne dans ${ℝ}^d$, d⩾2. Alors pour tout $\mathrm{f}\in {\mathrm{L}}^d\left(\Omega \right)$ avec ∫f=0 il existe une solution $\mathrm{u}\in {\mathrm{C}}^0\left(\overline{\Omega }\right)\cap {\mathrm{W}}^{1,\mathrm{d}}\left(\Omega \right)$ de l'équation divu=f dans $\Omega$ vérifiant de plus u=0 sur $\partial \Omega$ et l'estimée

$${\parallel \mathrm{u}\parallel }_{{\mathrm{L}}^{\infty }}+{\parallel \mathrm{u}\parallel }_{{\mathrm{W}}^{1,\mathrm{d}}}⩽\mathrm{C}{\parallel \mathrm{f}\parallel }_{{\mathrm{L}}^d},$$

où C dépend seulement de $\Omega$. Toutefois, on ne peut pas choisir u dépendant linéairement de f.

Reçu le : 2002-02-28
Accepté le : 2002-03-04
Publié le : 2002-01-01
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02344-0

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TY  - JOUR
AU  - Jean Bourgain
AU  - Haı̈m Brezis
TI  - Sur l'équation divu=f
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 973
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PB  - Elsevier
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Jean Bourgain; Haı̈m Brezis. Sur l'équation divu=f. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 973-976. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02344-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02344-0/