Sur l'équation div<i>u</i>=<i>f</i>

Jean Bourgain; Haı̈m Brezis

doi:10.1016/S1631-073X(02)02344-0

Sur l'équation divu=f

Jean Bourgain ¹ ; Haı̈m Brezis ²

¹ Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540, USA
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, BC 187, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 5, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 973-976

Résumé (VO)
Abstract

Le résultat principal est le suivant. Soit $Ω$ un domaine borné, à frontière Lipschitzienne dans $ℝ^{d}$ , d⩾2. Alors pour tout $f \in L^{d} (Ω)$ avec ∫f=0 il existe une solution $u \in C^{0} (\bar{Ω}) \cap W^{1, d} (Ω)$ de l'équation divu=f dans $Ω$ vérifiant de plus u=0 sur $\partial Ω$ et l'estimée

{∥ u ∥}_{L^{\infty}} + {∥ u ∥}_{W^{1, d}} ⩽ C {∥ f ∥}_{L^{d}},

où C dépend seulement de

Ω

. Toutefois, on ne peut pas choisir u dépendant linéairement de f.

The main result is the following. Let $Ω$ be a bounded Lipschitz domain in $ℝ^{d}$ , d⩾2. Then for every $f \in L^{d} (Ω)$ with ∫f=0, there exists a solution $u \in C^{0} (\bar{Ω}) \cap W^{1, d} (Ω)$ of the equation divu=f in $Ω$ , satisfying in addition u=0 on $\partial Ω$ and the estimate

{∥ u ∥}_{L^{\infty}} + {∥ u ∥}_{W^{1, d}} ⩽ C {∥ f ∥}_{L^{d}},

where C depends only on

Ω

. However one cannot choose u depending linearly on f.

Reçu le : 2002-02-28
Accepté le : 2002-03-04
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02344-0

Affiliations des auteurs :

Jean Bourgain ¹ ; Haı̈m Brezis ²

¹ Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540, USA
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, BC 187, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 5, France

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TY  - JOUR
AU  - Jean Bourgain
AU  - Haı̈m Brezis
TI  - Sur l'équation divu=f
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 973
EP  - 976
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Jean Bourgain; Haı̈m Brezis. Sur l'équation divu=f. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 973-976. doi: 10.1016/S1631-073X(02)02344-0

Bibliographie
Cité par

[1] J. Bourgain, H. Brezis, On the equation divY=f and application to control of phases (à paraître)

[2] C.T. Mc Mullen Lipschitz maps and nets in Euclidean space, Geom. Funct. Anal., Volume 8 (1998), pp. 304-314

Cité par Sources :

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