[Les espaces réduits symplectiques d'une action de Poisson]
Pendant les trente derniers années, la réduction symplectique (aussi appelée de Marsden–Weinstein) a joué un rôle majeur lors de la construction de nouvelles variétés symplectiques et dans l'étude des systèmes mécaniques symétriques. Ce procédé a été traditionnellement associé à l'action canonique d'un groupe de Lie sur une variété symplectique, en présence d'une application moment. Dans cette Note, nous montrerons que le phénomène de la réduction symplectique a des racines beaucoup plus profondes. Plus spécifiquement, nous trouverons des espaces réduits symplectiques à l'intérieur de la catégorie des variétés de Poisson sous des hypothèses qui n'impliquent pas forcément l'existence d'une application moment. Autrement dit, la catégorie la plus générale pour l'obtention des espaces réduits symplectiques est celle des variétés de Poisson munies de l'action canonique d'un groupe de Lie.
During the last thirty years, symplectic or Marsden–Weinstein reduction has been a major tool in the construction of new symplectic manifolds and in the study of mechanical systems with symmetry. This procedure has been traditionally associated to the canonical action of a Lie group on a symplectic manifold, in the presence of a momentum map. In this Note we show that the symplectic reduction phenomenon has much deeper roots. More specifically, we will find symplectically reduced spaces purely within the Poisson category under hypotheses that do not necessarily imply the existence of a momentum map. In other words, the right category to obtain symplectically reduced spaces is that of Poisson manifolds acted upon canonically by a Lie group.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2002__334_11_999_0,
author = {Juan-Pablo Ortega},
title = {The symplectic reduced spaces of a {Poisson} action},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {999--1004},
publisher = {Elsevier},
volume = {334},
number = {11},
year = {2002},
doi = {10.1016/S1631-073X(02)02394-4},
language = {en},
}
Juan-Pablo Ortega. The symplectic reduced spaces of a Poisson action. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 999-1004. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02394-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02394-4/
[1] Lie group valued momentum maps, J. Differential Geom., Volume 48 (1998), pp. 445-495
[2] A universal reduction procedure for Hamiltonian group actions (T.S. Ratiu, ed.), The Geometry of Hamiltonian Systems, Springer-Verlag, 1991, pp. 33-51
[3] Proper group actions and symplectic stratified spaces, Pacific J. Math., Volume 181 (1997) no. 2, pp. 201-229
[4] Lie Groups and Lie Algebras, Springer-Verlag, 1989 (Chapters 1–3)
[5] Differential structure of orbit spaces, Canad. J. Math., Volume 53 (2001) no. 4, pp. 715-755
[6] Feuilletages à singularités, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math., Volume 47 (1985), pp. 21-39
[7] Symplectic Techniques in Physics, Cambridge University Press, 1984
[8] Reduction of symplectic manifolds with symmetry, Rep. Math. Phys., Volume 5 (1974) no. 1, pp. 121-130
[9] The moment map for circle actions on symplectic manifolds, J. Geom. Phys., Volume 5 (1988), pp. 149-160
[10] J.-P. Ortega, Symmetry, reduction, and stability in Hamiltonian systems, Ph.D. thesis, University of California, Santa Cruz, June 1998
[11] J.-P. Ortega, Singular dual pairs, Preprint available at http://front.math.ucdavis.edu/math.SG/0201192, 2002
[12] J.-P. Ortega, T.S. Ratiu, The optimal momentum map, in: P. Holmes, P. Newton, A. Weinstein, (Eds.), Geometry, Dynamics, and Mechanics: 60th birthday volume for J.E. Marsden, Springer-Verlag, New York, 2002, to appear
[13] J.-P. Ortega, T.S. Ratiu, Hamiltonian Reduction, Birkhäuser, Progress in Math., 2002, to appear
[14] Stratified symplectic spaces and reduction, Ann. Math., Volume 134 (1991), pp. 375-422
[15] Accessibility and foliations with singularities, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 80 (1974), pp. 1142-1145
[16] Accessible sets, orbits and foliations with singularities, Proc. London Math. Soc., Volume 29 (1974), pp. 699-713
[17] Orbits of families of vector fields and integrability of distributions, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 180 (1973), pp. 171-188
Cité par Sources :
Commentaires - Politique