Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol

Philippe Rambour; Abdellatif Seghier

doi:10.1016/S1631-073X(02)02549-9

Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol
[Inverses exacts et asymptotiques des matrices de Toeplitz à symbole singulier polynomial]

Philippe Rambour ¹ ; Abdellatif Seghier ¹

¹ Université de Paris Sud, bâtiment 425, 91405 Orsay cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 8, pp. 705-710.

est référencé par Erratum to: “Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol” [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (8) (2002) 705–710]

Abstract (VO)
Résumé

From a previous work and an application of predictive polynomials we obtain two types of results. In a first part exact entries of the Toeplitz matrix are computed in the case where the symbol is |P|²f and where f is a non negative regular function and P a polynomial with all its zeros on $𝕋$ . In a second part we give an asymptotic expansion for symbols (1−cosθ)^pf when f is always a nonnegative regular function. These formulas use Green kernels associated to differential operators of order 2p. Finally, we propose some applications to the computation of traces and determinants.

À partir de travaux antérieurs et d'une application des polynômes prédicteurs nous obtenons deux types de résultats. Dans une première partie nous proposons une méthode pour obtenir un développement exact des coefficients de matrices de Toeplitz ayant un symbole du type |P|²f où f est une fonction régulière positive et P un polynôme ayant ses zéros sur le tore. Dans une deuxième partie nous obtenons des formules asymptotiques pour les coefficients de l'inverse des matrices de Toeplitz dont le symbole est le produit de (1−cosθ)^p par une fonction strictement positive. Ces développements utilisent des noyaux de Green associés à des opérateurs différentiels d'ordre 2p. Enfin nous proposons quelques applications aux calculs des traces et des déterminants.

Reçu le : 2002-03-06
Révisé le : 2002-09-13
Publié le : 2002-10-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02549-9

Affiliations des auteurs :

Philippe Rambour ¹ ; Abdellatif Seghier ¹

¹ Université de Paris Sud, bâtiment 425, 91405 Orsay cedex, France

@article{CRMATH_2002__335_8_705_0,
     author = {Philippe Rambour and Abdellatif Seghier},
     title = {Exact and asymptotic inverse of the {Toeplitz} matrix with polynomial singular symbol},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {705--710},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {335},
     number = {8},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02549-9},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Philippe Rambour
AU  - Abdellatif Seghier
TI  - Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 705
EP  - 710
VL  - 335
IS  - 8
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02549-9
LA  - en
ID  - CRMATH_2002__335_8_705_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Philippe Rambour
%A Abdellatif Seghier
%T Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 705-710
%V 335
%N 8
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-073X(02)02549-9
%G en
%F CRMATH_2002__335_8_705_0

Philippe Rambour; Abdellatif Seghier. Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 8, pp. 705-710. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02549-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02549-9/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Böttcher; B. Silbermann The asymptotic behavior of Toeplitz determinants for generating functions with zeros of integral orders, Math. Nachr., Volume 102 (1981), pp. 79-105

[2] T. Ehrhardt; B. Silbermann Toeplitz determinants with One Fisher–Hartwig singularity, J. Funct. Anal., Volume 148 (1997), pp. 229-256

[3] M.E. Fisher; R.E. Hartwig Toeplitz determinants: Some applications, theorems, and conjectures, Adv. Chem. Phys., Volume 15 (1968), pp. 333-353

[4] H.J. Landau Maximum entropy and the moment problem, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), Volume 1 (1986) no. 1, pp. 47-77

[5] P. Rambour; J.-M. Rinkel; A. Seghier Inverse asymptotique de la matrice de Toeplitz et noyau de Green, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 331 (2000), pp. 857-860

[6] F.L. Spitzer; C.J. Stone A class of Toeplitz forms and their applications to probability theory, Illinois J. Math., Volume 4 (1960), pp. 253-277

[7] E.T. Whittaker; G.N. Watson A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, London, 1952

[8] H. Widom Toeplitz determinants with singular generating functions, Amer. J. Math., Volume 95 (1973), pp. 333-383

Albrecht Böttcher Entries of the inverses of large positive definite Toeplitz matrices, Acta Scientiarum Mathematicarum, Volume 88 (2022) no. 1-2, pp. 85-99 | DOI:10.1007/s44146-022-00007-0 | Zbl:1549.15040
Philippe Rambour; Jean-Marc Rinkel A strong Spitzer-Stone theorem for a Toeplitz matrix with singular symbol defined by a class of analytic functions, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques. Série VI, Volume 16 (2007) no. 2, pp. 331-367 | DOI:10.5802/afst.1151 | Zbl:1145.47024
Jean Chanzy Inversion of a truncated Toeplitz operator and limit theorems of Szegő, Annales Mathématiques Blaise Pascal, Volume 13 (2006) no. 1, pp. 111-205 | DOI:10.5802/ambp.216 | Zbl:1138.47023
Philippe Rambour; Abdellatif Seghier Trace theorems of Szegő type in the singular case., Bulletin des Sciences Mathématiques, Volume 129 (2005) no. 2, pp. 149-174 | DOI:10.1016/j.bulsci.2004.03.007 | Zbl:1089.47028
A. Böttcher The constants in the asymptotic formulas by Rambour and Seghier for inverses of Toeplitz matrices, Integral Equations and Operator Theory, Volume 50 (2004) no. 1, pp. 43-55 | DOI:10.1007/s00020-003-1297-x | Zbl:1070.47015

Cité par 5 documents. Sources : zbMATH

Commentaires - Politique

Il n'y a aucun commentaire pour cet article. Soyez le premier à écrire un commentaire !

Publier un nouveau commentaire:

Publier une nouvelle réponse: