Comptes Rendus
Mathematical Analysis
Asymptotic inversion of Toeplitz matrices with one singularity in the symbol
[Inversion asymptotique des matrices de Toeplitz dont le symbole présente une singularité]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 9-10, pp. 489-494.

Considérons la fonction fα(θ)=|1eiθ|2αf1(eiθ)f1 est une fonction régulière strictement positive et α un nombre réel tel que 12<α. Pour un tel α nous calculons l'inverse TN(fα)1 de la matrice de Toeplitz TN(fα) et nous obtenons le comportement asymptotique des coefficients de cet inverse quand N tend vers l'infini. Ceci nous permet de mettre en évidence deux nouvelles familles de noyaux Hα pour 12<α<0, et Gα pour α>0. Nous obtenons également un développement asymptotique des coefficients des polynômes orthogonaux associés au poids fα. Pour α=12 nous répondons à une question énoncée par H. Kesten (1961).

We consider the function fα defined by fα(θ)=|1eiθ|2αf1(eiθ) with f1 a regular strictly positive function and α a real number with 12<α. For such a number α we compute the inverse TN(fα)1 of the Toeplitz matrix TN(fα) and we obtain the asymptotic behaviour of the entries of this matrix when N goes to infinity. This inversion allows us to obtain two new families of kernels, Hα for 12<α<0, and Gα for α>0. We obtain also an asymptotic expansion of the coefficients of the orthogonal polynomials associated to the function fα and we give an answer to a question of H. Kesten (1961).

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.02.024

Philippe Rambour 1 ; Abdellatif Seghier 1

1 Université de Paris Sud, bâtiment 425, 91405 Orsay cedex, France
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Philippe Rambour; Abdellatif Seghier. Asymptotic inversion of Toeplitz matrices with one singularity in the symbol. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 9-10, pp. 489-494. doi : 10.1016/j.crma.2009.02.024. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.02.024/

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