Explosion et normes $ \mathrm{L}^{\mathbf{p}}$ pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique

Gilles Cabart; Satyanad Kichenassamy

doi:10.1016/S1631-073X(02)02606-7

Explosion et normes

L^{𝐩}

pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique

Gilles Cabart ¹ ; Satyanad Kichenassamy ¹

¹ Laboratoire de mathématiques, Université de Reims Champagne-Ardenne et CNRS (UMR 6056), Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 903-908.

Résumé
Abstract

On construit des solutions explosives d'équations d'onde avec non linéarité cubique, en dimension n⩾1. Leur norme L^p explose si la surface d'explosion admet un minimum intérieur non dégénéré et p⩾n/2. Si le second membre est peu régulier et 0<ε<1, on donne des exemples tels que la norme L^p explose si p⩾n/(1+ε) ; leurs données ne sont pas L^∞ mais l'explosion n'est pas instantanée. Des applications en optique non linéaire sont brièvement mentionnées.

We find blow-up solutions of nonlinear wave equations with cubic nonlinearity, in any number of space dimensions, and study the asymptotic behavior of their L^p norms and “energy”. The L^p norm blows up if the blow-up surface has an interior non-degenerate minimum and p⩾n/2. For less smooth right-hand sides, and 0<ε<1, we give examples for which the L^p norm blows up if p⩾n/(1+ε); their Cauchy data are unbounded, but blow-up is not instantaneous. Applications to nonlinear optics are briefly outlined.

Accepté le : 2002-10-11
Publié le : 2002-11-16

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02606-7

Affiliations des auteurs :

Gilles Cabart ¹ ; Satyanad Kichenassamy ¹

¹ Laboratoire de mathématiques, Université de Reims Champagne-Ardenne et CNRS (UMR 6056), Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France

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Gilles Cabart; Satyanad Kichenassamy. Explosion et normes $ \mathrm{L}^{\mathbf{p}}$ pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 903-908. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02606-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02606-7/

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