Comptes Rendus
Explosion et normes L 𝐩 pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique
[Blow-up and Lp norms for the cubic nonlinear wave equation]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 903-908.

We find blow-up solutions of nonlinear wave equations with cubic nonlinearity, in any number of space dimensions, and study the asymptotic behavior of their Lp norms and “energy”. The Lp norm blows up if the blow-up surface has an interior non-degenerate minimum and pn/2. For less smooth right-hand sides, and 0<ε<1, we give examples for which the Lp norm blows up if pn/(1+ε); their Cauchy data are unbounded, but blow-up is not instantaneous. Applications to nonlinear optics are briefly outlined.

On construit des solutions explosives d'équations d'onde avec non linéarité cubique, en dimension n⩾1. Leur norme Lp explose si la surface d'explosion admet un minimum intérieur non dégénéré et pn/2. Si le second membre est peu régulier et 0<ε<1, on donne des exemples tels que la norme Lp explose si pn/(1+ε) ; leurs données ne sont pas L mais l'explosion n'est pas instantanée. Des applications en optique non linéaire sont brièvement mentionnées.

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DOI: 10.1016/S1631-073X(02)02606-7

Gilles Cabart 1; Satyanad Kichenassamy 1

1 Laboratoire de mathématiques, Université de Reims Champagne-Ardenne et CNRS (UMR 6056), Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
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Gilles Cabart; Satyanad Kichenassamy. Explosion et normes $ \mathrm{L}^{\mathbf{p}}$ pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 903-908. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02606-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02606-7/

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