Comptes Rendus
Explosion et normes L 𝐩 pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 903-908.

On construit des solutions explosives d'équations d'onde avec non linéarité cubique, en dimension n⩾1. Leur norme Lp explose si la surface d'explosion admet un minimum intérieur non dégénéré et pn/2. Si le second membre est peu régulier et 0<ε<1, on donne des exemples tels que la norme Lp explose si pn/(1+ε) ; leurs données ne sont pas L mais l'explosion n'est pas instantanée. Des applications en optique non linéaire sont brièvement mentionnées.

We find blow-up solutions of nonlinear wave equations with cubic nonlinearity, in any number of space dimensions, and study the asymptotic behavior of their Lp norms and “energy”. The Lp norm blows up if the blow-up surface has an interior non-degenerate minimum and pn/2. For less smooth right-hand sides, and 0<ε<1, we give examples for which the Lp norm blows up if pn/(1+ε); their Cauchy data are unbounded, but blow-up is not instantaneous. Applications to nonlinear optics are briefly outlined.

Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02606-7

Gilles Cabart 1 ; Satyanad Kichenassamy 1

1 Laboratoire de mathématiques, Université de Reims Champagne-Ardenne et CNRS (UMR 6056), Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
@article{CRMATH_2002__335_11_903_0,
     author = {Gilles Cabart and Satyanad Kichenassamy},
     title = {Explosion et normes $ \mathrm{L}^{\mathbf{p}}$ pour l'\'equation des ondes nonlin\'eaire cubique},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {903--908},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {335},
     number = {11},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02606-7},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Gilles Cabart
AU  - Satyanad Kichenassamy
TI  - Explosion et normes $ \mathrm{L}^{\mathbf{p}}$ pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 903
EP  - 908
VL  - 335
IS  - 11
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02606-7
LA  - fr
ID  - CRMATH_2002__335_11_903_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Gilles Cabart
%A Satyanad Kichenassamy
%T Explosion et normes $ \mathrm{L}^{\mathbf{p}}$ pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 903-908
%V 335
%N 11
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-073X(02)02606-7
%G fr
%F CRMATH_2002__335_11_903_0
Gilles Cabart; Satyanad Kichenassamy. Explosion et normes $ \mathrm{L}^{\mathbf{p}}$ pour l'équation des ondes nonlinéaire cubique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 903-908. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02606-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02606-7/

[1] C. Antonini; F. Merle Optimal bounds on positive blow-up solutions for a semilinear wave equation, Internat. Math. Res. Notices, Volume 21 (2001), pp. 1141-1167

[2] J.-M. Bony, Interaction des singularités pour les équations de Klein–Gordon non linéaires, Séminaire Goulaouic–Meyer–Schwartz 1983–1984, École Polytechnique, 17 janvier 1984

[3] H. Brezis, Notes de cours de DEA (Univ. Paris VI, non publié) 1984

[4] S. Kichenassamy; W. Littman Blow-up surfaces for nonlinear wave equations, I et II, Comm. Partial Differential Equations, Volume 18 (1993), pp. 431-452 (1869–1899)

[5] S. Kichenassamy Fuchsian equations in Sobolev spaces and blow-up, J. Differential Equations, Volume 125 (1996), pp. 299-327

[6] S. Kichenassamy The blow-up problem for exponential nonlinearities, Comm. Partial Differential Equations, Volume 21 (1996), pp. 125-162

[7] S. Kichenassamy Stability of blow-up patterns for nonlinear wave equations, Contemp. Math., Volume 255 (2000), pp. 139-162

[8] H. Lindblad; C. Sogge On existence and scattering with minimal regularity for nonlinear wave equations, J. Funct. Anal., Volume 130 (1995), pp. 357-426

[9] W. Strauss Nonlinear Wave Equations, CBMS Lecture Notes, 73, American Mathematical Society, Providence, 1989

Cité par Sources :

Commentaires - Politique