Comptes Rendus
Complex Analysis
Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass
[Sous-extension des fonctions plurisousharmoniques de masse de Monge–Ampère bornée]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 4, pp. 305-308.

Soit Ωn un domaine hyperconvexe. On désigne par 0(Ω) la classe des fonctions plurisousharmoniques sur Ω avec valeurs au bord nulle et de masse de Monge–Ampère finie sur Ω. On désigne par (Ω) la classe des fonctions ϕ plurisousharmoniques négatives sur Ω, limite d'une suite décroissante (ϕj) de fonctions de 0(Ω) telle que supjΩ(ddcϕj)n<+. On sait que l'opérateur de Monge–Ampère est bien défini sur (Ω) et que pour une fonction ϕ(Ω), la mesure de Monge–Ampère associée est une mesure de Borel sur Ω de masse totale bornée. Une telle fonction sera dite de masse de Monge–Ampère bornée sur Ω.

On démontre alors que pour tout domaine hyperconvexe Ω˜,ΩΩ˜n et tout ϕ(Ω) il existe une fonction ϕ˜(Ω˜) telle que ϕ˜ϕ sur Ω et Ω˜(ddcϕ˜)nΩ(ddcϕ)n. Une telle fonction ϕ˜ est dite sous-extension de ϕ au domaine Ω˜. A partir de ce résultat, nous déduisons un théorème d'intégrabilté uniforme global pour les classes de fonction plurisousharmoniques sur Ωn ayant des masses de Monge–Ampère uniformément bornées sur Ω.

Let Ωn be a hyperconvex domain. Denote by 0(Ω) the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on Ω with boundary values 0 and finite Monge–Ampère mass on Ω. Then denote by (Ω) the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on Ω for which there exists a decreasing sequence (ϕ)j of plurisubharmonic functions in 0(Ω) converging to ϕ such that supjΩ(ddcϕj)n+.

It is known that the complex Monge–Ampère operator is well defined on the class (Ω) and that for a function ϕ(Ω) the associated positive Borel measure is of bounded mass on Ω. A function from the class (Ω) is called a plurisubharmonic function with bounded Monge–Ampère mass on Ω.

We prove that if Ω and Ω˜ are hyperconvex domains with ΩΩ˜n and ϕ(Ω), there exists a plurisubharmonic function ϕ˜(Ω˜) such that ϕ˜ϕ on Ω and Ω˜(ddcϕ˜)nΩ(ddcϕ)n. Such a function is called a subextension of ϕ to Ω˜.

From this result we deduce a global uniform integrability theorem for the classes of plurisubharmonic functions with uniformly bounded Monge–Ampère masses on Ω.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00031-1

Urban Cegrell 1 ; Ahmed Zeriahi 2

1 Department of Mathematics, University of Umeä, 90187 Umeä, Sweden
2 Université Paul Sabatier, institut de mathématiques, laboratoire Emile Picard, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse, France
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Urban Cegrell; Ahmed Zeriahi. Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 4, pp. 305-308. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00031-1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00031-1/

[1] E. Bedford; D. Burns Domains of existence for plurisubharmonic functions, Math. Ann., Volume 238 (1978) no. 1, pp. 67-69

[2] E. Bedford; B.A. Taylor A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math., Volume 149 (1981), pp. 1-40

[3] E. Bedford; B.A. Taylor Smooth plurisubharmonic functions without subextension, Math. Z., Volume 198 (1988) no. 3, pp. 331-337

[4] U. Cegrell On the domains of existence for plurisubharmonic functions, Complex Analysis, Warsaw, 1979, Banach Center Publ., 11, PWN, Warsaw, 1983, pp. 33-37

[5] U. Cegrell Pluricomplex energy, Acta Math., Volume 180 (1998), pp. 187-217

[6] U. Cegrell, The general definition of the complex Monge–Ampère operator, Preprint of Umeå University and Mid Sweden University, 2002

[7] H. El Mir Fonctions plurisousharmoniques et ensembles pluripolaires, Séminaire Lelong–Skoda, Lecture Notes in Math., 822, Springer-Verlag, 1980, pp. 61-76

[8] E. Fornaess; N. Sibony Plurisubharmonic functions on ring domains, Complex Analysis, Univ. Park, 1986, Lecture Notes in Math., 1268, Springer-Verlag, 1987, pp. 111-120

[9] S. Kolodziej The range of the complex Monge–Ampère operator, Indiana Univ. Math. J., Volume 44 (1995) no. 3, pp. 765-783

[10] S. Kolodziej The complex Monge–Ampère equation, Acta Math., Volume 180 (1998), pp. 69-117

[11] A. Zeriahi Pluricomplex Green functions and the Dirichlet problem for complex Monge–Ampère operator, Michigan Math. J., Volume 44 (1997), pp. 579-596

[12] A. Zeriahi Volume and capacity of sublevel sets of a Lelong class of plurisubharmonic functions, Indiana Univ. Math. J., Volume 50 (2001) no. 1, pp. 671-703

[13] A. Zeriahi, Local uniform integrability and the size of plurisubharmonic lemniscates in terms of Hausdorff–Riesz measures, Prépublication n° 222, Laboratoire Emile Picard, UPS-Toulouse, 2001

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