Sur l'homologie du groupe orthogonal à coefficients dans les algèbres de Clifford

Jean-Guillaume Grebet

doi:10.1016/S1631-073X(03)00069-4

Algèbre/Théorie des groupes

Sur l'homologie du groupe orthogonal à coefficients dans les algèbres de Clifford

Présenté par : Christophe Soulé

Jean-Guillaume Grebet ¹

¹ Department of Mathematical Sciences, University of Durham, Durham, DH1 3LE, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 5, pp. 381-386.

Résumé
Abstract

Le but de cette Note est de montrer que la méthode utilisée par Dupont et Sah pour calculer les groupes d'homologie $H_{1} (SO (3; ℝ), 𝔰𝔬 (3; ℝ))$ et $H_{2} (SO (3; ℝ), 𝔰𝔬 (3; ℝ))$ peut être reformulée de manière plus générale en termes de formes différentielles non-commutatives sur les algèbres de Clifford. En appliquant alors ce formalisme à d'autres algèbres de Clifford, on est en mesure d'une part de retrouver les résultats de Cathelineau pour les groupes $H_{1} ({SL}_{2} (ℂ), {𝔰𝔩}_{2} (ℂ))$ et $H_{2} ({SL}_{2} (ℂ), {𝔰𝔩}_{2} (ℂ))$ , et d'autre part de calculer les groupes $H_{1} ({SL}_{2} (ℝ), {𝔰𝔩}_{2} (ℝ))$ et $H_{2} ({SL}_{2} (ℝ), {𝔰𝔩}_{2} (ℝ))$ , qui sont respectivement isomorphes à $Ω_{ℝ | ℚ}^{1}$ et au groupe nul.

The object of this Note is to show that the method used by Dupont and Sah to compute the homology groups $H_{1} (SO (3; ℝ), 𝔰𝔬 (3; ℝ))$ and $H_{2} (SO (3; ℝ), 𝔰𝔬 (3; ℝ))$ can be reformulated more generally in terms of non-commutative differential forms over Clifford algebras. Applying then this formalism to other Clifford algebras, we are able on the one hand to retrieve the results of Cathelineau for the groups $H_{1} ({SL}_{2} (ℂ), {𝔰𝔩}_{2} (ℂ))$ and $H_{2} ({SL}_{2} (ℂ), {𝔰𝔩}_{2} (ℂ))$ , and on the other hand to compute $H_{1} ({SL}_{2} (ℝ), {𝔰𝔩}_{2} (ℝ))$ and $H_{2} ({SL}_{2} (ℝ), {𝔰𝔩}_{2} (ℝ))$ , which are isomorphic to $Ω_{ℝ | ℚ}^{1}$ and to the null group respectively.

Reçu le : 2002-09-23
Accepté le : 2003-01-30
Publié le : 2003-03-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00069-4

Affiliations des auteurs :

Jean-Guillaume Grebet ¹

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Jean-Guillaume Grebet. Sur l'homologie du groupe orthogonal à coefficients dans les algèbres de Clifford. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 5, pp. 381-386. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00069-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00069-4/

Bibliographie
Cité par

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