Comptes Rendus
no. 5
Algèbre/Théorie des groupes
Sur l'homologie du groupe orthogonal à coefficients dans les algèbres de Clifford

Présenté par : Christophe Soulé

Jean-Guillaume Grebet1
1 Department of Mathematical Sciences, University of Durham, Durham, DH1 3LE, UK
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 5, pp. 381-386.

Le but de cette Note est de montrer que la méthode utilisée par Dupont et Sah pour calculer les groupes d'homologie H 1 ( SO (3;ℝ),𝔰𝔬(3;ℝ)) et H 2 ( SO (3;ℝ),𝔰𝔬(3;ℝ)) peut être reformulée de manière plus générale en termes de formes différentielles non-commutatives sur les algèbres de Clifford. En appliquant alors ce formalisme à d'autres algèbres de Clifford, on est en mesure d'une part de retrouver les résultats de Cathelineau pour les groupes H 1 ( SL 2 (ℂ),𝔰𝔩 2 (ℂ)) et H 2 ( SL 2 (ℂ),𝔰𝔩 2 (ℂ)), et d'autre part de calculer les groupes H 1 ( SL 2 (ℝ),𝔰𝔩 2 (ℝ)) et H 2 ( SL 2 (ℝ),𝔰𝔩 2 (ℝ)), qui sont respectivement isomorphes à Ω ℝ|ℚ 1 et au groupe nul.

The object of this Note is to show that the method used by Dupont and Sah to compute the homology groups H 1 ( SO (3;ℝ),𝔰𝔬(3;ℝ)) and H 2 ( SO (3;ℝ),𝔰𝔬(3;ℝ)) can be reformulated more generally in terms of non-commutative differential forms over Clifford algebras. Applying then this formalism to other Clifford algebras, we are able on the one hand to retrieve the results of Cathelineau for the groups H 1 ( SL 2 (ℂ),𝔰𝔩 2 (ℂ)) and H 2 ( SL 2 (ℂ),𝔰𝔩 2 (ℂ)), and on the other hand to compute H 1 ( SL 2 (ℝ),𝔰𝔩 2 (ℝ)) and H 2 ( SL 2 (ℝ),𝔰𝔩 2 (ℝ)), which are isomorphic to Ω ℝ|ℚ 1 and to the null group respectively.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00069-4
Jean-Guillaume Grebet 1

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Jean-Guillaume Grebet. Sur l'homologie du groupe orthogonal à coefficients dans les algèbres de Clifford. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 5, pp. 381-386. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00069-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00069-4/

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