Comptes Rendus
no. 8
Probability Theory
A Bismut type formula for the Hessian of heat semigroups
[Une formule de Bismut pour la hessienne d'un semigroupe de la chaleur]

Présenté par : Paul Malliavin

Marc Arnaudon1 ; Holger Plank2 ; Anton Thalmaier3 
1 Département de mathématiques, Université de Poitiers, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France
2 Universität Regensburg, NWF I, Mathematik, 93040 Regensburg, Germany
3 Université d'Evry, laboratoire d'analyse et probabilité, département de mathématiques, bd François Mitterrand, 91025 Evry cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 8, pp. 661-666.

On écrit une formule de Bismut intrinsèque pour la hessienne d'un semigroupe de la chaleur ou d'une fonction harmonique sur une variété, en calculant des dérivées secondes directionnelles de familles de martingales, et en filtrant ensuite le bruit superflu. Cela nous permet d'obtenir des estimées de la hessienne dans un cadre très général. Avec des hypothèses de symétrie radiale de la variété, on améliore encore ces estimées.

We obtain an intrinsic version of a Bismut type formula for the Hessian of heat semigroups, resp. harmonic functions, by computing second order directional derivatives of families of martingales, along with filtering of redundant noise. As applications we provide a Hessian estimate in the general case as well as a slightly improved one in the radially symmetric situation.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00123-7
Marc Arnaudon 1 ; Holger Plank 2 ; Anton Thalmaier 3

1 Département de mathématiques, Université de Poitiers, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France
2 Universität Regensburg, NWF I, Mathematik, 93040 Regensburg, Germany
3 Université d'Evry, laboratoire d'analyse et probabilité, département de mathématiques, bd François Mitterrand, 91025 Evry cedex, France 
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Marc Arnaudon; Holger Plank; Anton Thalmaier. A Bismut type formula for the Hessian of heat semigroups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 8, pp. 661-666. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00123-7. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00123-7/

[1] M. Arnaudon; A. Thalmaier Bismut type differentiation of semigroups, Probab. Theory and Math. Statist., Vilnius, 1998, VSP/TEV, Utrecht and Vilnius, 1999, pp. 23-32

[2] M. Arnaudon; A. Thalmaier Horizontal martingales in vector bundles, Séminaire de Probabilités, XXXVI, Lecture Notes in Math., 1801, Springer, Berlin, 2003, pp. 419-456

[3] K.D. Elworthy; Y. Le Jan; X.-M. Li On the Geometry of Diffusion Operators and Stochastic Flows, Lecture Notes in Math., 1720, Springer, Berlin, 1999

[4] K.D. Elworthy; X.-M. Li Formulae for the derivatives of heat semigroups, J. Funct. Anal., Volume 125 (1994), pp. 252-286

[5] P. Malliavin Stochastic Analysis, Grundlehren Math. Wiss., 313, Springer-Verlag, Berlin, 1997

[6] H. Plank, Stochastic representation of the gradient and Hessian of diffusion semigroups on Riemannian manifolds, Ph.D. Thesis, Universität Regensburg, 2002

[7] A. Thalmaier; F.-Y. Wang Gradient estimates for harmonic functions on regular domains in Riemannian manifolds, J. Funct. Anal., Volume 155 (1998), pp. 109-124

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