Rôle de l'espace de Besov $ \mathrm{B}_{\infty }^{\mathrm{-1,\infty }}$ dans le contrôle de l'explosion éventuelle en temps fini des solutions régulières des équations de Navier–Stokes

Ramzi May

doi:10.1016/S1631-073X(03)00155-9

Équations aux dérivées partielles

Rôle de l'espace de Besov

B_{\infty}^{- 1, \infty}

dans le contrôle de l'explosion éventuelle en temps fini des solutions régulières des équations de Navier–Stokes

Présenté par : Yves Meyer

Ramzi May ¹

¹ Département des mathématiques, Université d'Evry, boulevard F. Mitterrand, 91025 Evry cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 731-734.

Résumé (VO)
Abstract

Soit $u \in C ([0, T^{*} [; L^{n} {(ℝ^{n})}^{n})$ une solution maximale des équations de Navier–Stokes. Nous montrons que u est C^∞ sur $] 0, T^{*} [\times ℝ^{n}$ et qu'il existe une constante $ϵ_{*} > 0,$ qui ne dépend que de n, telle que si $T^{*} < \infty$ alors, pour toute $ω \in S {(ℝ^{n})}^{n},$ on a $\bar{\lim_{t \to T^{*}}} {∥ u (t) - ω ∥}_{𝐁_{\infty}^{- 1, \infty}} ⩾ ϵ_{*}$ .

Let $u \in C ([0, T^{*} [; L^{n} {(ℝ^{n})}^{n})$ be a maximal solution of the Navier–Stokes equations. We prove that u is C^∞ on $] 0, T^{*} [\times ℝ^{n}$ and there exists a constant $ϵ_{*} > 0$ , which depends only on n, such that if $T^{*}$ is finite then, for all $ω \in S {(ℝ^{n})}^{n},$ we have $\bar{\lim_{t \to T^{*}}} {∥ u (t) - ω ∥}_{𝐁_{\infty}^{- 1, \infty}} ⩾ ϵ_{*} .$

Reçu le : 2003-02-10
Accepté le : 2003-03-18
Publié le : 2003-04-29

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00155-9

Affiliations des auteurs :

Ramzi May ¹

¹ Département des mathématiques, Université d'Evry, boulevard F. Mitterrand, 91025 Evry cedex, France

@article{CRMATH_2003__336_9_731_0,
     author = {Ramzi May},
     title = {R\^ole de l'espace de {Besov} $ \mathrm{B}_{\infty }^{\mathrm{-1,\infty }}$ dans le contr\^ole de l'explosion \'eventuelle en temps fini des solutions r\'eguli\`eres des \'equations de {Navier{\textendash}Stokes}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {731--734},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {336},
     number = {9},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/S1631-073X(03)00155-9},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Ramzi May
TI  - Rôle de l'espace de Besov $ \mathrm{B}_{\infty }^{\mathrm{-1,\infty }}$ dans le contrôle de l'explosion éventuelle en temps fini des solutions régulières des équations de Navier–Stokes
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 731
EP  - 734
VL  - 336
IS  - 9
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-073X(03)00155-9
LA  - fr
ID  - CRMATH_2003__336_9_731_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Ramzi May
%T Rôle de l'espace de Besov $ \mathrm{B}_{\infty }^{\mathrm{-1,\infty }}$ dans le contrôle de l'explosion éventuelle en temps fini des solutions régulières des équations de Navier–Stokes
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 731-734
%V 336
%N 9
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-073X(03)00155-9
%G fr
%F CRMATH_2003__336_9_731_0

Ramzi May. Rôle de l'espace de Besov $ \mathrm{B}_{\infty }^{\mathrm{-1,\infty }}$ dans le contrôle de l'explosion éventuelle en temps fini des solutions régulières des équations de Navier–Stokes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 731-734. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00155-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00155-9/

Bibliographie
Cité par

[1] L. Escauriaza, G. Seregin, V. Šverák, On L_3,∞-solutions to the Navier–Stokes equations and backward uniqueness, Preprint

[2] Y. Giga Solutions for semilinear parabolic equations in L^p and regularity of weak solutions of the Navier–Stokes system, J. Differential Equations, Volume 62 (1986), pp. 182-212

[3] G. Furioli; P.G. Lemarié-Rieusset; E. Terraneo Sur l'unicité dans L³(R³) des solutions mild des équations de Navier–Stokes, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1, Volume 325 (1997), pp. 1253-1256

[4] T. Kato Strong L^p-solutions of the Navier–Stokes equation in $ℝ^{m},$ with applications to weak solutions, Math. Z., Volume 187 (1984), pp. 471-480

[5] H. Kozono; H. Sohr Regularity criterion on weak solutions to the Navier–Stokes equations, Adv. Differential Equations, Volume 2 (1997), pp. 535-554

[6] P.G. Lemarié-Rieusset Recent Developments in the Navier–Stokes Problem, CRC Press, 2002

[7] R. May, Existence, unicité et régularité des solutions faibles des équations de Navier–Stokes, Thèse, Univ. Evry, 2002

[8] R. May, Persistance des solutions régulières des équations de Navier–Stokes, en préparation

[9] Y. Meyer Wavelets, paraproducts and Navier–Stokes equations, Current Developments in Mathematics 1996, International Press, Cambridge, MA, 1999

[10] H. Sohr; W. Von Wahl On the singular set and the uniqueness of weak solutions of the Navier–Stokes equations, Manuscripta Math., Volume 49 (1984), pp. 27-59

Bibliography, The Navier-Stokes Problem in the 21st Century (2016), p. 677 | DOI:10.1201/b19556-23
Qiao Liu; Jihong Zhao; Shangbin Cui Uniqueness of weak solution to the generalized magneto-hydrodynamic system, Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta, Volume 193 (2014) no. 3, pp. 699-722 | DOI:10.1007/s10231-012-0298-2 | Zbl:1293.35251
Chao Deng; Xiaohua Yao Well-posedness and ill-posedness for the 3D generalized Navier-Stokes equations in ${\dot{F}}_{\frac{3}{α - 1}}^{- α, r}$ , Discrete and Continuous Dynamical Systems, Volume 34 (2014) no. 2, pp. 437-459 | DOI:10.3934/dcds.2014.34.437 | Zbl:1368.76013
Wenjing Song; Hua Li; Ganshan Yang; George Xianzhi Yuan Nonhomogeneous boundary value problem for $(I, J)$ similar solutions of incompressible two-dimensional Euler equations, Journal of Inequalities and Applications, Volume 2014 (2014), p. 15 (Id/No 277) | DOI:10.1186/1029-242x-2014-277 | Zbl:1335.35185
Ramzi May Extension of a uniqueness class for the Navier-Stokes equations, Annales de l'Institut Henri Poincaré. Analyse Non Linéaire, Volume 27 (2010) no. 2, pp. 705-718 | DOI:10.1016/j.anihpc.2009.11.007 | Zbl:1189.35231
Chao Deng; Jihong Zhao; Shangbin Cui Well-posedness of a dissipative nonlinear electrohydrodynamic system in modulation spaces, Nonlinear Analysis. Theory, Methods Applications. Series A: Theory and Methods, Volume 73 (2010) no. 7, pp. 2088-2100 | DOI:10.1016/j.na.2010.05.037 | Zbl:1197.35201
Michał Jerzy Kukieła On homotopy types of Alexandroff spaces, Order, Volume 27 (2010) no. 1, pp. 9-21 | DOI:10.1007/s11083-009-9134-8 | Zbl:1187.55005
Elias Gabriel Minian The geometry of relations, Order, Volume 27 (2010) no. 2, pp. 213-224 | DOI:10.1007/s11083-010-9146-4 | Zbl:1203.06004
Ramzi May Uniqueness of solutions of Navier-Stokes equations in Morrey-Campanato spaces, Bulletin des Sciences Mathématiques, Volume 133 (2009) no. 8, pp. 817-836 | DOI:10.1016/j.bulsci.2008.12.003 | Zbl:1179.35221
Pierre Gilles Lemarié-Rieusset The Picard iterates for the Navier-Stokes equations in $L^{3} (R^{3})$ , Physica D, Volume 237 (2008) no. 10-12, pp. 1334-1345 | DOI:10.1016/j.physd.2008.03.010 | Zbl:1143.76418
Pierre Gilles Lemarié-Rieusset Uniqueness for the Navier–Stokes problem: remarks on a theorem of Jean–Yves Chemin, Nonlinearity, Volume 20 (2007) no. 6, p. 1475 | DOI:10.1088/0951-7715/20/6/009
Marco Cannone Harmonic Analysis Tools for Solving the Incompressible Navier–Stokes Equations, Volume 3 (2005), p. 161 | DOI:10.1016/s1874-5792(05)80006-0

Cité par 12 documents. Sources : Crossref, zbMATH

Commentaires - Politique