Sur les équations de Lane–Emden avec opérateurs non linéaires

Isabeau Birindelli; Françoise Demengel

doi:10.1016/S1631-073X(03)00129-8

Équations aux dérivées partielles

Sur les équations de Lane–Emden avec opérateurs non linéaires

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Isabeau Birindelli ¹ ; Françoise Demengel ¹

¹ Département de mathématiques, Université de Cergy-Pontoise, site Saint-Martin, PB 222, 95302 Cergy-Pontoise cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 725-730.

Résumé
Abstract

Dans cette Note on considère les solutions non négatives de l'équation non linéaire

ℳ_{λ, Λ}^{+} (D^{2} u) + {| x |}^{α} u^{p} = 0,

dans

ℝ^{N}

, et

ℳ_{λ, Λ}^{+} (D^{2} u)

est l'opérateur de Pucci

ℳ_{λ, Λ}^{+} (M) = λ \sum_{e_{i} < 0} e_{i} + Λ \sum_{e_{i} > 0} e_{i},

où les e_i sont les valeurs propres de M et Λ⩾λ>0. On montre que si u vérifie une hypothèse de décroissance à l'infini

\lim_{| x | \to + \infty} {| x |}^{β - 1} u (x) = 0

avec (β−1)(p−1)>2+α, alors u est radiale. Dans un deuxième temps on montre que si

p < \frac{N + 2 α + 2}{N - 2}

, toute solution radiale de (1), u(x)=g(r), telle que g″ ne change de signe qu'une seule fois, est nulle.

In this Note we consider nonnegative solutions for the nonlinear equation

ℳ_{λ, Λ}^{+} (D^{2} u) + {| x |}^{α} u^{p} = 0

ℝ^{N}

, where

ℳ_{λ, Λ}^{+} (D^{2} u)

is the so called Pucci operator

ℳ_{λ, Λ}^{+} (M) = λ \sum_{e_{i} < 0} e_{i} + Λ \sum_{e_{i} > 0} e_{i},

and the e_i are the eigenvalues of M et Λ⩾λ>0. We prove that if u satisfies the decreasing estimate

\lim_{| x | \to + \infty} {| x |}^{β - 1} u (x) = 0

for some β satisfying (β−1)(p−1)>2+α then u is radial. In a second time we prove that if

p < \frac{N + 2 α + 2}{N - 2}

and u is a nonnegative radial solution of (1), u(x)=g(r), such that g″ changes sign at most once, then u is zero.

Reçu le : 2002-11-18
Accepté le : 2003-02-04
Publié le : 2003-04-29

DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00129-8

Affiliations des auteurs :

Isabeau Birindelli ¹ ; Françoise Demengel ¹

¹ Département de mathématiques, Université de Cergy-Pontoise, site Saint-Martin, PB 222, 95302 Cergy-Pontoise cedex, France

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Isabeau Birindelli; Françoise Demengel. Sur les équations de Lane–Emden avec opérateurs non linéaires. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 725-730. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00129-8. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00129-8/

Bibliographie
Cité par

[1] L.A. Caffarelli; B. Gidas; J. Spruck Asymptotic symmetry and local behavior of semilinear elliptic equations with critical Sobolev growth, Comm. Pure Appl. Math., Volume 42 (1989), pp. 271-297

[2] W. Chen; C. Li Classification of solutions of some nonlinear elliptic equations, Duke Math. J., Volume 63 (1991), pp. 615-622

[3] A. Cutrı́; F. Leoni On the Liouville property for fully nonlinear equations, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 17 (2000), pp. 219-245

[4] B. Gidas; J. Spruck Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations, Comm. Pure Appl. Math., Volume 35 (1981), pp. 525-598

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