Nous étudions le comportement asymptotique des polynômes de degrés n, approximants de Hermite–Padé de type I de la fonction exponentielle, i.e., lorsque z→0. Une méthode du col pour les problèmes de Riemann–Hilbert, introduite par Deift et Zhou, est utilisée pour obtenir l'asymptotique forte des polynômes localement uniformément dans toute région du plan complexe. Une surface de Riemann, obtenue naturellement à partir des expressions intégrales des polynômes est introduite, ainsi que certaines mesures et fonctions définies sur cette surface.
We describe the asymptotic behavior of the polynomials of degree n in type I Hermite–Padé approximation to the exponential function, i.e., as z→0. A steepest descent method for Riemann–Hilbert problems, due to Deift and Zhou, is used to obtain strong uniform asymptotics for the scaled polynomials in every domain of the complex plane. An important role is played by a three-sheeted Riemann surface and certain measures and functions defined on it.
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Arno Kuijlaars 1 ; Herbert Stahl 2 ; Walter Van Assche 1 ; Franck Wielonsky 3, 4
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Arno Kuijlaars; Herbert Stahl; Walter Van Assche; Franck Wielonsky. Asymptotique des approximants de Hermite–Padé quadratiques de la fonction exponentielle et problèmes de Riemann–Hilbert. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 893-896. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00221-8. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00221-8/
[1] Orthogonal Polynomials and Random Matrices: a Riemann–Hilbert Approach, Courant Lecture Notes, 3, New York University, 1999 (Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000)
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Cité par Sources :
☆ Ce travail a été réalisé avec le support des projets INTAS 2000-0272, G.0176.02 et G.0184.02 (FWO-Vlaanderen).
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