Asymptotique des approximants de Hermite–Padé quadratiques de la fonction exponentielle et problèmes de Riemann–Hilbert

Arno Kuijlaars; Herbert Stahl; Walter Van Assche; Franck Wielonsky

doi:10.1016/S1631-073X(03)00221-8

Analyse mathématique/Analyse complexe

Asymptotique des approximants de Hermite–Padé quadratiques de la fonction exponentielle et problèmes de Riemann–Hilbert
[Asymptotic behavior of quadratic Hermite–Padé approximants to the exponential function and Riemann–Hilbert problems]

Presented by: Jean-Pierre Kahane

Arno Kuijlaars ¹; Herbert Stahl ²; Walter Van Assche ¹; Franck Wielonsky ^3,⁴

¹ Katholieke Universiteit Leuven, Department of Mathematics, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven, Belgique
² TFH-Berlin, FB II, Luxemburger Straße 10, 13353 Berlin, Allemagne
³ UFR Math, FRE CNRS 2222, bat. M2, Université des sciences et technologies Lille 1, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France
⁴ INRIA, 2004, route des Lucioles, BP 93, 06902, Sophia Antipolis, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 893-896.

Abstract
Résumé

We describe the asymptotic behavior of the polynomials $p, q, r$ of degree n in type I Hermite–Padé approximation to the exponential function, i.e., $p (z) e^{- z} + q (z) + r (z) e^{z} = 𝒪 (z^{3 n + 2})$ as z→0. A steepest descent method for Riemann–Hilbert problems, due to Deift and Zhou, is used to obtain strong uniform asymptotics for the scaled polynomials $p (3 nz), q (3 nz), r (3 nz)$ in every domain of the complex plane. An important role is played by a three-sheeted Riemann surface and certain measures and functions defined on it.

Nous étudions le comportement asymptotique des polynômes $p, q, r$ de degrés n, approximants de Hermite–Padé de type I de la fonction exponentielle, i.e., $p (z) e^{- z} + q (z) + r (z) e^{z} = 𝒪 (z^{3 n + 2})$ lorsque z→0. Une méthode du col pour les problèmes de Riemann–Hilbert, introduite par Deift et Zhou, est utilisée pour obtenir l'asymptotique forte des polynômes $p (3 nz), q (3 nz), r (3 nz)$ localement uniformément dans toute région du plan complexe. Une surface de Riemann, obtenue naturellement à partir des expressions intégrales des polynômes $p, q, r$ est introduite, ainsi que certaines mesures et fonctions définies sur cette surface.

Received: 2003-03-11
Accepted: 2003-04-22
Published online: 2003-05-31

DOI: 10.1016/S1631-073X(03)00221-8

Author's affiliations:

Arno Kuijlaars ¹; Herbert Stahl ²; Walter Van Assche ¹; Franck Wielonsky ^{3, 4}

¹ Katholieke Universiteit Leuven, Department of Mathematics, Celestijnenlaan 200B, B-3001 Leuven, Belgique
² TFH-Berlin, FB II, Luxemburger Straße 10, 13353 Berlin, Allemagne
³ UFR Math, FRE CNRS 2222, bat. M2, Université des sciences et technologies Lille 1, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France
⁴ INRIA, 2004, route des Lucioles, BP 93, 06902, Sophia Antipolis, France

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Arno Kuijlaars; Herbert Stahl; Walter Van Assche; Franck Wielonsky. Asymptotique des approximants de Hermite–Padé quadratiques de la fonction exponentielle et problèmes de Riemann–Hilbert. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 11, pp. 893-896. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00221-8. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00221-8/

References
Cited by

[1] P. Deift Orthogonal Polynomials and Random Matrices: a Riemann–Hilbert Approach, Courant Lecture Notes, 3, New York University, 1999 (Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000)

[2] P. Deift; X. Zhou A steepest descent method for oscillatory Riemann–Hilbert problems: asymptotics for the MKdV equation, Ann. of Math., Volume 137 (1993), pp. 295-368

[3] A.B.J. Kuijlaars, W. Van Assche, F. Wielonsky, Quadratic Hermite–Padé approximation to the exponential function: a Riemann–Hilbert approach, Manuscrit, 2003

[4] C. Pommerenke Univalent Functions, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1975

[5] H. Stahl Asymptotics for quadratic Hermite–Padé polynomials associated with the exponential function, Electron. Trans. Numer. Anal., Volume 14 (2002), pp. 193-220

[6] H. Stahl, Quadratic Hermite–Padé polynomials associated with the exponential function, Manuscrit

[7] W. Van Assche; J.S. Geronimo; A.B.J. Kuijlaars Riemann–Hilbert problems for multiple orthogonal polynomials (J. Bustoz et al., eds.), Special Functions 2000: Current Perspective and Future Directions, NATO Sci. Ser. II Math., Phys. and Chem., 30, Kluwer Academic, Dordrecht, 2001, pp. 23-59

Cited by Sources:

^☆ Ce travail a été réalisé avec le support des projets INTAS 2000-0272, G.0176.02 et G.0184.02 (FWO-Vlaanderen).

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