On multiple sum and product sets of finite sets of integers

Jean Bourgain; Mei-Chu Chang

doi:10.1016/j.crma.2003.08.010

Combinatorics/Number Theory

On multiple sum and product sets of finite sets of integers
[Sur les ensembles de sommes et produits multiples d'ensembles finis d'entiers]

Présenté par : Jean Bourgain

Jean Bourgain ¹ ; Mei-Chu Chang ²

¹ Institute for Advanced Study, Olden Lane, Princeton, NJ 08540, USA
² Mathematics Department, University of California, Riverside, CA 92521, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 8, pp. 499-503.

Résumé
Abstract

Soit $A \subset ℤ$ un ensemble fini d'entiers et |A|=N⩾2. Pour tout entier positif k, denotons kA (resp. A^(k)) l'ensemble de toutes les sommes (resp. produits) de k éléments de A. On démontre que pour tout b>1, il existe k=k(b) tel que max(|kA|,|A^(k)|)>N^b. Ceci répond affirmativement à des questions posées dans Erdős et Szemerédi (Stud. Pure Math., 1983, pp. 213–218), Elekes et al. (J. Number Theory 83 (2) (2002) 194–201) et, récemment, par S. Konjagin (communication privée). La méthode est basée sur des arguments d'analyse harmonique dans l'esprit de Chang (Ann. Math. 157 (2003) 939–957) et de la combinatoire sur des graphes.

Let $A \subset ℤ$ be a finite set of integers of cardinality |A|=N⩾2. Given a positive integer k, denote kA (resp. A^(k)) the set of all sums (resp. products) of k elements of A. We prove that for all b>1, there exists k=k(b) such that max(|kA|,|A^(k)|)>N^b. This answers affirmably questions raised in Erdős and Szemerédi (Stud. Pure Math., 1983, pp. 213–218), Elekes et al. (J. Number Theory 83 (2) (2002) 194–201) and recently, by S. Konjagin (private communication). The method is based on harmonic analysis techniques in the spirit of Chang (Ann. Math. 157 (2003) 939–957) and combinatorics on graphs.

Reçu le : 2003-08-11
Accepté le : 2003-08-30
Publié le : 2003-10-15

DOI : 10.1016/j.crma.2003.08.010

Affiliations des auteurs :

Jean Bourgain ¹ ; Mei-Chu Chang ²

¹ Institute for Advanced Study, Olden Lane, Princeton, NJ 08540, USA
² Mathematics Department, University of California, Riverside, CA 92521, USA

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Jean Bourgain; Mei-Chu Chang. On multiple sum and product sets of finite sets of integers. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 8, pp. 499-503. doi : 10.1016/j.crma.2003.08.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.08.010/

Bibliographie
Cité par

[1] J. Bourgain On the Erdős–Volkmann and Katz–Tao Ring Conjectures, Geom. Funct. Anal., Volume 13 (2003)

[2] M. Chang The Erdős–Szemerédi problem on sum set and product set, Ann. of Math., Volume 157 (2003), pp. 939-957

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[5] S. Konjagin, Private communication

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[8] J. Solymosi, On the number of sums and products, Preprint, 2003

Albert Bush; Ernie Croot Few products, many h-fold sums, International Journal of Number Theory, Volume 14 (2018) no. 08, p. 2107 | DOI:10.1142/s1793042118501270
Richard K. Guy None of the Above, Unsolved Problems in Number Theory, Volume 1 (2004), p. 365 | DOI:10.1007/978-0-387-26677-0_7

Cité par 2 documents. Sources : Crossref

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