On Guerra's broken replica-symmetry bound

Michel Talagrand

doi:10.1016/j.crma.2003.09.001

Probability Theory/Mathematical Physics

On Guerra's broken replica-symmetry bound
[Sur une majoration célèbre de F. Guerra]

Présenté par : Yves Meyer

Michel Talagrand ¹

¹ Équipe d'analyse de l'institut mathématique, 4, place Jussieu, 75230 Paris cedex 05, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 7, pp. 477-480.

Abstract (VO)
Résumé

Consider a random Hamiltonian $H_{N} (\vec{σ})$ for $\vec{σ} \in Σ_{N} = {0, 1}^{ℕ} .$ We assume that the family $(H_{N} (\vec{σ}))$ is jointly Gaussian centered and that for ${\vec{σ}}^{1}, {\vec{σ}}^{2} \in Σ_{N},$ $N^{- 1} {EH}_{N} ({\vec{σ}}^{1}) H_{N} ({\vec{σ}}^{2})$ =ξ(N⁻¹∑_i⩽Nσ¹_iσ²_i) for a certain function ξ on $ℝ$ . F. Guerra proved the remarkable fact that the free energy of the system with Hamiltonian $H_{N} (\vec{σ}) + h \sum_{i ⩽ N} σ_{i}$ is bounded below by the free energy of the Parisi solution provided that ξ is convex on $ℝ$ . We prove that this fact remains (asymptotically) true when the function ξ is only assumed to be convex on $ℝ^{+}$ . This covers in particular the case of the p-spin interaction model for any p.

Considérons un hamiltonian aléatoire $H_{N} (\vec{σ})$ où $\vec{σ} \in Σ_{N} = {0, 1}^{ℕ} .$ Nous supposons la famille $(H_{N} (\vec{σ}))$ gaussienne centrée et que pour tous ${\vec{σ}}^{1}, {\vec{σ}}^{2} \in Σ_{N},$ on ait $N^{- 1} {EH}_{N} ({\vec{σ}}^{1}) H_{N} ({\vec{σ}}^{2}) = ξ (N^{- 1} \sum_{i ⩽ N} σ_{i}^{1} σ_{i}^{2})$ pour une certaine fonction ξ sur $ℝ$ . F. Guerra a prouvé récemment le fait remarquable que l'énergie libre du système d'hamiltonien $H_{N} (\vec{σ}) + h \sum_{i ⩽ N} σ_{i}$ est bornée inferieurement par l'énergie libre de la solution de Parisi lorsque ξ est convexe sur $ℝ$ . Nous montrons que ceci reste asymptotiquement vrai si l'on suppose seulement que la fonction ξ est convexe sur $ℝ^{+}$ . Ce résultat s'applique en particulier au cas du modèle d'interaction à p-spin pour tout p.

Reçu le : 2003-08-21
Accepté le : 2003-09-01
Publié le : 2003-10-01

DOI : 10.1016/j.crma.2003.09.001

Affiliations des auteurs :

Michel Talagrand ¹

¹ Équipe d'analyse de l'institut mathématique, 4, place Jussieu, 75230 Paris cedex 05, France

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Michel Talagrand. On Guerra's broken replica-symmetry bound. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 7, pp. 477-480. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.09.001/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Aizenman; R. Sims; S. Starr (An extended variational principle for the SK spin-glass model) | arXiv

[2] F. Guerra Replica broken bounds in the mean field spin glass model, Comm. Math. Phys., Volume 233 (2003), pp. 1-12

[3] M. Talagrand Spin Glasses, A Challenge to Mathematicians, Springer-Verlag, 2003

[4] M. Talagrand The generalized Parisi formula, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 337 (2003), pp. 111-114

Cité par Sources :

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