Comptes Rendus
no. 8
Partial Differential Equations
The modified KdV equation on a finite interval
[L'équation mKdV sur un intervalle borné]

Présenté par : Bernard Malgrange

Anne Boutet de Monvel1 ; Dmitry Shepelsky2
1 Institut de mathématiques de Jussieu, case 7012, Université Paris 7, 2, place Jussieu, 75251 Paris, France
2 Institute for Low Temperature Physics, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 8, pp. 517-522.

Nous étudions un problème aux limites pour l'équation mKdV en exprimant la solution en termes de la solution d'un problème de Riemann–Hilbert matriciel associé dans le plan complexe du paramètre spectral k. Ce problème de Riemann–Hilbert dépend de façon explicite de x et t. Il est déterminé par des fonctions de k appelées « fonctions spectrales ». Certaines d'entre elles sont définies en termes des données de Cauchy q(x,0)=q0(x), tandis que les autres sont définies par deux ensembles de valeurs aux limites. Nous démontrons que ces fonctions spectrales vérifient une « relation globale » algébrique qui caractérise les valeurs aux limites en termes spectraux.

We analyse an initial-boundary value problem for the mKdV equation on a finite interval by expressing the solution in terms of the solution of an associated matrix Riemann–Hilbert problem in the complex k-plane. This Riemann–Hilbert problem has explicit (x,t)-dependence and it involves certain functions of k referred to as “spectral functions”. Some of these functions are defined in terms of the initial condition q(x,0)=q0(x), while the remaining spectral functions are defined in terms of two sets of boundary values. We show that the spectral functions satisfy an algebraic “global relation” that characterize the boundary values in spectral terms.

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DOI : 10.1016/j.crma.2003.09.009
Anne Boutet de Monvel 1 ; Dmitry Shepelsky 2

1 Institut de mathématiques de Jussieu, case 7012, Université Paris 7, 2, place Jussieu, 75251 Paris, France
2 Institute for Low Temperature Physics, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine 
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[1] A. Boutet de Monvel, A.S. Fokas, D. Shepelsky, The mKdV equation on the half-line, J. Inst. Math. Jussieu, in press

[2] A. Boutet de Monvel, D. Shepelsky, Initial boundary value problem for the modified KdV equation on a finite interval, Preprint

[3] A.S. Fokas A unified transform method for solving linear and certain nonlinear PDEs, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, Volume 453 (1997), pp. 1411-1443

[4] A.S. Fokas On the integrability of linear and nonlinear partial differential equations, J. Math. Phys., Volume 41 (2000), pp. 4188-4237

[5] A.S. Fokas Integrable nonlinear evolution equations on the half-line, Comm. Math. Phys., Volume 230 (2002), pp. 1-39

[6] A.S. Fokas, A.R. Its, The nonlinear Schrödinger equation on the interval, Preprint

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