Itération de pliages de quadrilatères

Yves Benoist; Dominique Hulin

doi:10.1016/j.crma.2003.12.011

Systèmes dynamiques

Itération de pliages de quadrilatères

Présenté par : Jean-Christophe Yoccoz

Yves Benoist ¹ ; Dominique Hulin ²

¹ École normale supérieure-CNRS, 45, rue d'Ulm, 75230 Paris, France
² Université Paris-Sud, bâtiment 425, Orsay 91405, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 3, pp. 235-238.

Résumé
Abstract

Partant d'un quadrilatère q₀=(A₁,A₂,A₃,A₄) de $ℝ^{2}$ , on construit une suite q_n=(A_4n+1,…,A_4n+4) de quadrilatères par itération de pliages : q_n=ϕ₄∘ϕ₃∘ϕ₂∘ϕ₁(q_n−1), où le pliage ϕ_j remplace le sommet numéro j par son symétrique par rapport à la diagonale opposée. Dans cette Note, nous étudions le comportement dynamique de la suite q_n.

Starting with a quadrilateral q₀=(A₁,A₂,A₃,A₄) of $ℝ^{2}$ , one constructs a sequence of quadrilaterals q_n=(A_4n+1,…,A_4n+4) by iteration of foldings: q_n=ϕ₄∘ϕ₃∘ϕ₂∘ϕ₁(q_n−1) where the folding ϕ_j replaces the vertex number j by its symmetric with respect to the opposite diagonal.

We study the dynamical behavior of this sequence. In particular, we prove that:

– The drift $v : = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} q_{n}$ exists.

– When none of the q_n is isometric to q₀, then the drift v is zero if and only if one has $\max a_{j} + \min a_{j} ⩽ \frac{1}{2} \sum a_{j}$ , where a₁,…,a₄ are the sidelengths of q₀.

– For Lebesgue almost all q₀ the sequence (q_n−nv)_n⩾1 is dense on a bounded analytic curve with a center, or an axis of symmetry. However, for Baire generic q₀, the sequence (q_n−nv)_n⩾1 is unbounded.

Reçu le : 2003-06-20
Accepté le : 2003-12-09
Publié le : 2004-01-10

DOI : 10.1016/j.crma.2003.12.011

Affiliations des auteurs :

Yves Benoist ¹ ; Dominique Hulin ²

¹ École normale supérieure-CNRS, 45, rue d'Ulm, 75230 Paris, France
² Université Paris-Sud, bâtiment 425, Orsay 91405, France

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Yves Benoist; Dominique Hulin. Itération de pliages de quadrilatères. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 3, pp. 235-238. doi : 10.1016/j.crma.2003.12.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.12.011/

Bibliographie
Cité par

[1] Y. Benoist, D. Hulin, Itération de pliages de quadrilatères, Preprint, 2003

[2] H. Bos; C. Kers; F. Oort; D. Raven Poncelet's closure theorem, Exposition. Math., Volume 5 (1987), pp. 289-364

[3] K. Charter; T. Rogers The dynamics of quadrilateral folding, Experiment. Math., Volume 2 (1993), pp. 209-222

[4] J. Esch; T. Rogers Dynamics on elliptic curves arising from polygonal folding, Discrete Comput. Geom., Volume 25 (2001), pp. 477-502

[5] P. Griffiths; J. Harris On Cayley's explicit solution to Poncelet porism, Enseign. Math., Volume 24 (1978), pp. 31-40

Cité par Sources :

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