New properties of lattices in Lie groups

Fritz Grunewald; Vladimir Platonov

doi:10.1016/j.crma.2003.12.021

Group Theory/Lie Algebras

New properties of lattices in Lie groups
[Nouvelles propriétés des réseaux dans les groupes de Lie]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Fritz Grunewald ¹ ; Vladimir Platonov ²

¹ Mathematisches Institut, Heinrich Heine Universität, 40225 Düsseldorf, Germany
² Max-Planck-Institut für Mathematik, Vivatsgasse 7, 53111 Bonn, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 4, pp. 271-276.

Résumé
Abstract

On étudie les extensions finies de réseaux dans les groupes de Lie n'ayant qu'un nombre fini de composantes connexes. Nous démontrons que tout groupe fuchsien (ce sont les réseaux non-cocompacts dans $PSL (2, ℝ)$ ) possède une extension finie qui n'est isomorphe à aucun réseau dans un groupe de Lie ayant un nombre fini de composantes connexes. D'autre part, nous démontrons que ces groupes sont les seuls, parmi les réseaux dans les groupes de Lie, pour lesquels il existe de telles extensions finies. Nous montrons aussi qu'une extension finie d'un réseau dans un groupe de Lie ayant un nombre fini de composantes connexes n'a qu'un nombre fini de classes de conjugaison de sous-groupes finis.

We study finite extension groups of lattices in Lie groups which have finitely many connected components. We show that every non-cocompact Fuchsian group (these are the non-cocompact lattices in $PSL (2, ℝ)$ ) has an extension group of finite index which is not isomorphic to a lattice in a Lie group with finitely many connected components. On the other hand we prove that these are, in an appropriate sense, the only lattices in Lie groups which have extension groups of this kind. We also show that an extension group of finite index of a lattice in a Lie group with finitely many connected components has only finitely many conjugacy classes of finite subgroups.

Reçu le : 2003-07-24
Accepté le : 2003-12-19
Publié le : 2004-01-24

DOI : 10.1016/j.crma.2003.12.021

Affiliations des auteurs :

Fritz Grunewald ¹ ; Vladimir Platonov ²

¹ Mathematisches Institut, Heinrich Heine Universität, 40225 Düsseldorf, Germany
² Max-Planck-Institut für Mathematik, Vivatsgasse 7, 53111 Bonn, Germany

@article{CRMATH_2004__338_4_271_0,
     author = {Fritz Grunewald and Vladimir Platonov},
     title = {New properties of lattices in {Lie} groups},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {271--276},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {338},
     number = {4},
     year = {2004},
     doi = {10.1016/j.crma.2003.12.021},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Fritz Grunewald
AU  - Vladimir Platonov
TI  - New properties of lattices in Lie groups
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2004
SP  - 271
EP  - 276
VL  - 338
IS  - 4
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2003.12.021
LA  - en
ID  - CRMATH_2004__338_4_271_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Fritz Grunewald
%A Vladimir Platonov
%T New properties of lattices in Lie groups
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2004
%P 271-276
%V 338
%N 4
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2003.12.021
%G en
%F CRMATH_2004__338_4_271_0

Fritz Grunewald; Vladimir Platonov. New properties of lattices in Lie groups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 4, pp. 271-276. doi : 10.1016/j.crma.2003.12.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.12.021/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Borel; J.-P. Serre; A. Borel, Comment. Math. Helv. (Collected Papers, vol. II), Volume 39, Springer-Verlag, 1964, pp. 111-164 (pp. 362–415)

[2] M.R. Bridson Geodesics and curvature in metric simplicial complexes (E. Ghys; A. Haefliger; A. Verjovsky, eds.), Group Theory From a Geometric Viewpoint, World Scientific, 1991, pp. 373-463

[3] W. Dicks; M.J. Dunwoody Groups Acting on Graphs, Cambridge University Press, 1989

[4] L. Greenberg Finiteness theorems for Fuchsian and Kleinian groups (E.W. Harvey, ed.), Discrete Groups and Automorphic Functions, Academic Press, 1977, pp. 199-255

[5] F. Grunewald; V. Platonov Rigidity results for groups with radical, cohomology of finite groups and arithmeticity problems, Duke Math. J., Volume 100 (1999), pp. 321-358

[6] F. Grunewald; V. Platonov Solvable arithmetic groups and arithmeticity problems, Int. J. Math., Volume 10 (1999), pp. 327-366

[7] S.P. Kerckhoff The Nielsen realization problem, Ann. Math., Volume 117 (1983), pp. 235-265

[8] V. Platonov The theory of algebraic linear groups and periodic groups, Amer. Math. Soc. Transl., Volume 69 (1968), pp. 61-110

[9] G. Prasad Discrete subgroups isomorphic to lattices in Lie groups, Amer. J. Math., Volume 98 (1976), pp. 853-863

[10] M.S. Raghunathan Discrete Subgroups of Lie Groups, Ergeb. Math. Grenzgeb., vol. 68, Springer-Verlag, 1972

Cité par Sources :

Commentaires - Politique