Comptes Rendus
no. 5
Number Theory
Mordell type exponential sum estimates in fields of prime order
[Estimations de type Mordell pour les sommes exponentielles dans les corps d'ordre premier.]

Présenté par : Jean Bourgain

Jean Bourgain1
1 IAS, School of Mathematics, Princeton, NJ 08540, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 5, pp. 321-325.

Nous démontrons une estimée du type Mordell (voir Mordell [Q. J. Math. 3 (1932) 161–162]) pour les sommes exponentielles associées à des polynômes clairsemés f(x)=∑i=1raixki, (ai,p)=1, p premier, sous des hypothèses essentiellement optimales sur les exposants 1⩽ki<p−1. La méthode repose sur des estimés « sommes-produits » dans des corps finis Fp et leurs produits cartésiens. On obtient également des bornes non-triviales sur des sommes incomplètes de la forme ∑s=1tep(∑i=1raiθis) pour t>pɛ, sous des hypothèses appropriées sur les θi∈Fp*.

We establish a Mordell type exponential sum estimate (see Mordell [Q. J. Math. 3 (1932) 161–162]) for ‘sparse’ polynomials f(x)=∑i=1raixki,(ai,p)=1,p prime, under essentially optimal conditions on the exponents 1⩽ki<p−1. The method is based on sum–product estimates in finite fields Fp and their Cartesian products. We also obtain estimates on incomplete sums of the form ∑s=1tep(∑i=1raiθis) for t>pɛ, under appropriate conditions on the θi∈Fp*.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2004.06.013
Jean Bourgain 1

1 IAS, School of Mathematics, Princeton, NJ 08540, USA 
@article{CRMATH_2004__339_5_321_0,
     author = {Jean Bourgain},
     title = {Mordell type exponential sum estimates in fields of prime order},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {321--325},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {339},
     number = {5},
     year = {2004},
     doi = {10.1016/j.crma.2004.06.013},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Jean Bourgain
TI  - Mordell type exponential sum estimates in fields of prime order
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2004
SP  - 321
EP  - 325
VL  - 339
IS  - 5
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2004.06.013
LA  - en
ID  - CRMATH_2004__339_5_321_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Jean Bourgain
%T Mordell type exponential sum estimates in fields of prime order
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2004
%P 321-325
%V 339
%N 5
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2004.06.013
%G en
%F CRMATH_2004__339_5_321_0
Jean Bourgain. Mordell type exponential sum estimates in fields of prime order. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 5, pp. 321-325. doi : 10.1016/j.crma.2004.06.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.06.013/

[1] J. Bourgain, Estimates on exponential sums related to the Diffie–Hellman distributions, GAFA, in press

[2] J. Bourgain; S. Konyagin Estimates for the number of sums and products and for exponential sums over subgroups in fields of prime order, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 337 (2003) no. 2, pp. 75-80

[3] J. Bourgain, N. Katz, T. Tao, A sum–product theorem in finite fields and applications, GAFA, in press

[4] T. Cochrane, C. Pinner, An improved Mordell type bound for exponential sums, Proc. Amer. Math. Soc., submitted for publication

[5] T. Cochrane; C. Pinner Stepanov's method applied to binomial exponential sums, Q. J. Math., Volume 54 (2003) no. 3, pp. 243-255

[6] S. Konyagin; I. Shparlinski Character Sums with Exponential Functions and their Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1999

[7] L.J. Mordell On a sum analogous to a Gauss' sum, Q. J. Math., Volume 3 (1932), pp. 161-162

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Sum–product theorems and exponential sum bounds in residue classes for general modulus

Jean Bourgain

C. R. Math (2007)