Comptes Rendus
no. 5
Théorie des nombres
Sur les nombres de Fibonacci de la forme qkyp

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Yann Bugeaud1 ; Maurice Mignotte1 ; Samir Siksek2
1 Université Louis Pasteur, U.F.R. de mathématiques, 7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France
2 Department of Mathematics and Statistics, College of Science, Sultan Qaboos University, PO Box 36, Al-Khod 123, Oman
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 5, pp. 327-330.

Nous étudions l'équation Fn=qkyp où q est un nombre premier et k un entier positif. Nous la résolvons pour tous les q≢1(mod 4) et obtenons des conditions nécessaires lorsque q≡1(mod 4). En particulier, nous répondons à une question de Ribenboim concernant l'équation Fn=2kyp.

We study the equation Fn=qkyp where q is a prime number and k is a positive integer. We solve it for all q≢1(mod 4) and get partial results when q≡1(mod 4). In particular, we answer Ribenboim's question about Fn=2kyp.

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.06.007
Yann Bugeaud 1 ; Maurice Mignotte 1 ; Samir Siksek 2

1 Université Louis Pasteur, U.F.R. de mathématiques, 7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France
2 Department of Mathematics and Statistics, College of Science, Sultan Qaboos University, PO Box 36, Al-Khod 123, Oman 
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[1] C. Batut, K. Belabas, D. Bernardi, H. Cohen, M. Olivier, User's guide to PARI-GP, version 2.1.1. Voir aussi http://www.parigp-home.de/

[2] W. Bosma; J. Cannon; C. Playoust The Magma System I: The User Language, J. Symb. Comp., Volume 24 (1997), pp. 235-265 http://www.maths.usyd.edu.au:8000/u/magma/ (Voir aussi)

[3] Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek, Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations, I. Fibonacci and Lucas Perfect Powers, soumis

[4] J.H.E. Cohn Lucas and Fibonacci numbers and some Diophantine equations, Proc. Glasgow Math. Assoc., Volume 7 (1965), pp. 24-28

[5] W. Ivorra Sur les équations xp+2βyp=z2 et xp+2βyp=2z2, Acta Arith., Volume 108 (2003), pp. 327-338

[6] P. Ribenboim The terms Cxh, (h⩾3) in Lucas sequences: an algorithm and applications to diophantine equations, Acta Arith., Volume 106 (2003), pp. 105-114

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