We introduce and analyze curvature bounds for metric measure spaces , based on convexity properties of the relative entropy . For Riemannian manifolds, if and only if for all . We define a complete separable metric on the family of all isomorphism classes of normalized metric measure spaces. It has a natural interpretation in terms of mass transportation. Our lower curvature bounds are stable under -convergence. We also prove that the family of normalized metric measure spaces with doubling constant is closed under -convergence. Moreover, the subfamily of spaces with diameter is compact.
Nous introduisons et nous étudions les bornes de la courbure pour des espaces métriques mesurés , en utilisant des propriétés de convexité de l'entropie relative . Pour les variétés riemanniennes, , si et seulement si pour tout . Nous définissons une métrique complète, séparable sur la famille des classes d'isomorphie d'espaces métriques mesurés, normalisés. Cette métrique a une interprétation naturelle dans le contexte du transport de masse. Nos bornes inférieures de la courbure sont stables pour la -convergence. Nous démontrons aussi que, pour la -convergence, la famille des espaces métriques mesurés, normalisés, avec une constante de doublement est fermée et, de plus, la sous-famille, dont les élements ont un diamètre est compacte.
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Karl-Theodor Sturm 1
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Karl-Theodor Sturm. Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 3, pp. 235-238. doi : 10.1016/j.crma.2004.11.022. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.11.022/
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Cited by Sources:
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