Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces

Karl-Theodor Sturm

doi:10.1016/j.crma.2004.11.022

Probability Theory

Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces
[Bornes généralisées de la courbure Ricci et convergence des espaces métriques mesurés.]

Présenté par : Paul Malliavin

Karl-Theodor Sturm ¹

¹ Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn, Wegelerstrasse 6, 53125 Bonn, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 3, pp. 235-238.

Résumé
Abstract

Nous introduisons et nous étudions les bornes de la courbure $\underset{̲}{C urv} (M, d, m) ⩾ K$ pour des espaces métriques mesurés $(M, d, m)$ , en utilisant des propriétés de convexité de l'entropie relative $Ent (\cdot | m)$ . Pour les variétés riemanniennes, $\underset{̲}{C urv} (M, d, m) ⩾ K$ , si et seulement si ${Ric}_{M} (ξ, ξ) ⩾ K \cdot {| ξ |}^{2}$ pour tout $ξ \in T M$ . Nous définissons une métrique $D$ complète, séparable sur la famille des classes d'isomorphie d'espaces métriques mesurés, normalisés. Cette métrique a une interprétation naturelle dans le contexte du transport de masse. Nos bornes inférieures de la courbure sont stables pour la $D$ -convergence. Nous démontrons aussi que, pour la $D$ -convergence, la famille des espaces métriques mesurés, normalisés, avec une constante de doublement $⩽ C$ est fermée et, de plus, la sous-famille, dont les élements ont un diamètre $⩽ R$ est compacte.

We introduce and analyze curvature bounds $\underset{̲}{C urv} (M, d, m) ⩾ K$ for metric measure spaces $(M, d, m)$ , based on convexity properties of the relative entropy $Ent (\cdot | m)$ . For Riemannian manifolds, $\underset{̲}{C urv} (M, d, m) ⩾ K$ if and only if ${Ric}_{M} (ξ, ξ) ⩾ K \cdot {| ξ |}^{2}$ for all $ξ \in T M$ . We define a complete separable metric $D$ on the family of all isomorphism classes of normalized metric measure spaces. It has a natural interpretation in terms of mass transportation. Our lower curvature bounds are stable under $D$ -convergence. We also prove that the family of normalized metric measure spaces with doubling constant $⩽ C$ is closed under $D$ -convergence. Moreover, the subfamily of spaces with diameter $⩽ R$ is compact.

Reçu le : 2004-11-07
Accepté le : 2004-11-09
Publié le : 2005-01-12

DOI : 10.1016/j.crma.2004.11.022

Affiliations des auteurs :

Karl-Theodor Sturm ¹

¹ Institut für Angewandte Mathematik, Universität Bonn, Wegelerstrasse 6, 53125 Bonn, Germany

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Karl-Theodor Sturm. Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 3, pp. 235-238. doi : 10.1016/j.crma.2004.11.022. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.11.022/

Bibliographie
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