Le nombre des diviseurs unitaires d'un entier dans les progressions arithmétiques

Abdallah Derbal

doi:10.1016/j.crma.2004.12.002

Théorie des nombres

Le nombre des diviseurs unitaires d'un entier dans les progressions arithmétiques
[On the number of unitary divisors of whole numbers in arithmetic progressions]

Christophe Soulé

Abdallah Derbal ¹

¹Département de mathématiques, École normale supérieure d'Alger, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 255-258

Résumé (Original language)
Abstract

Soient $d_{k, l}^{*} (n)$ et $d_{k, l} (n)$ les fonctions nombre de diviseurs unitaires (voir ci-dessous) et nombre de diviseurs du nombre entier n dans les progressions aritmétiques ${l + m k}$ où k et l sont deux entiers premiers entre eux tels que $1 ⩽ l ⩽ k$ , et soit pour $n ⩾ 2$

F (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n}, F^{*} (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l}^{*} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n} et

D^{*} (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l} (n) / d_{k, l}^{*} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n}

où

φ (k)

est l'indicateur d'Euler. La fonction

F (n; k, l)

fût étudiée dans [A. Derbal, A. Smati, C. A. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 87–90]. Dans cette Note nous étudions les fonctions

F^{*} (n; k, l)

et

D^{*} (n; k, l)

. Nous déterminons explicitement leurs ordres maximaux et nous calculons effectivement le maximum absolu de

F^{*} (n; k, l)

pour

k = 1, 2, 3

et celui de

D^{*} (n; k, l)

pour

k = 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13

.

Let the functions $d_{k, l}^{*} (n)$ and $d_{k, l} (n)$ be number of unitary divisors (see below) and number of divisors n in arithmetic progressions ${l + m k}$ ; k and l are integers relatively prime such that $1 ⩽ l ⩽ k$ and let, for $n ⩾ 2$

F (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n}, F^{*} (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l}^{*} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n} and

D^{*} (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l} (n) / d_{k, l}^{*} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n},

where

φ (k)

is Euler's totient. The function

F (n; k, l)

has been studied in [A. Derbal, A. Smati, C. A. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 87–90]. In this Note we study the functions

F^{*} (n; k, l)

and

D^{*} (n; k, l)

. We give explicitly their maximal orders and we compute effectively the maximum of

F^{*} (n; k, l)

for

k = 1, 2, 3

and that of

D^{*} (n; k, l)

for

k = 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13

.

Article information
Cite this article

Received: 2004-10-04
Accepted: 2004-11-30
Published online: 2005-01-29

DOI: 10.1016/j.crma.2004.12.002

Author's affiliations:

Abdallah Derbal ¹

¹ Département de mathématiques, École normale supérieure d'Alger, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie

Abdallah Derbal. Le nombre des diviseurs unitaires d'un entier dans les progressions arithmétiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 255-258. doi: 10.1016/j.crma.2004.12.002

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References
Cited by

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