Le nombre des diviseurs unitaires d'un entier dans les progressions arithmétiques

Abdallah Derbal

doi:10.1016/j.crma.2004.12.002

Théorie des nombres

Le nombre des diviseurs unitaires d'un entier dans les progressions arithmétiques

Présenté par : Christophe Soulé

Abdallah Derbal ¹

¹ Département de mathématiques, École normale supérieure d'Alger, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 255-258.

Résumé
Abstract

Soient $d_{k, l}^{*} (n)$ et $d_{k, l} (n)$ les fonctions nombre de diviseurs unitaires (voir ci-dessous) et nombre de diviseurs du nombre entier n dans les progressions aritmétiques ${l + m k}$ où k et l sont deux entiers premiers entre eux tels que $1 ⩽ l ⩽ k$ , et soit pour $n ⩾ 2$

F (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n}, F^{*} (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l}^{*} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n} et

D^{*} (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l} (n) / d_{k, l}^{*} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n}

où

φ (k)

est l'indicateur d'Euler. La fonction

F (n; k, l)

fût étudiée dans [A. Derbal, A. Smati, C. A. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 87–90]. Dans cette Note nous étudions les fonctions

F^{*} (n; k, l)

et

D^{*} (n; k, l)

. Nous déterminons explicitement leurs ordres maximaux et nous calculons effectivement le maximum absolu de

F^{*} (n; k, l)

pour

k = 1, 2, 3

et celui de

D^{*} (n; k, l)

pour

k = 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13

.

Let the functions $d_{k, l}^{*} (n)$ and $d_{k, l} (n)$ be number of unitary divisors (see below) and number of divisors n in arithmetic progressions ${l + m k}$ ; k and l are integers relatively prime such that $1 ⩽ l ⩽ k$ and let, for $n ⩾ 2$

F (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n}, F^{*} (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l}^{*} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n} and

D^{*} (n; k, l) = \frac{\ln (d_{k, l} (n) / d_{k, l}^{*} (n)) \ln (φ (k) \ln n)}{\ln n},

where

φ (k)

is Euler's totient. The function

F (n; k, l)

has been studied in [A. Derbal, A. Smati, C. A. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004) 87–90]. In this Note we study the functions

F^{*} (n; k, l)

and

D^{*} (n; k, l)

. We give explicitly their maximal orders and we compute effectively the maximum of

F^{*} (n; k, l)

for

k = 1, 2, 3

and that of

D^{*} (n; k, l)

for

k = 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13

.

Reçu le : 2004-10-04
Accepté le : 2004-11-30
Publié le : 2005-01-29

DOI : 10.1016/j.crma.2004.12.002

Affiliations des auteurs :

Abdallah Derbal ¹

¹ Département de mathématiques, École normale supérieure d'Alger, BP 92, Vieux Kouba, Alger, Algérie

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Abdallah Derbal. Le nombre des diviseurs unitaires d'un entier dans les progressions arithmétiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 255-258. doi : 10.1016/j.crma.2004.12.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.12.002/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Derbal; A. Smati Le nombre des diviseurs d'un entier dans les progressions arithmétiques, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 339 (2004), pp. 87-90

[2] P. Dusart, Autour de la fonction π, thèse de doctorat de l'université de Limoges en Mathématiques appliquées et théorie des nombres, juin 1998

[3] J.L. Nicolas; G. Robin Majorations explicites pour le nombre des diviseurs de n, Canad. Math. Bull., Volume 26 (1983) no. 4, pp. 485-492

[4] S. Ramanujan; S. Ramanujan, P. Lond. Math. Soc. Ser. 2 (Collected Papers), Volume 14, Chelsea, 1915, pp. 347-400 (pp. 78–128)

[5] O. Ramaré; R. Rumely Primes in arithmetic progressions, Math. Comput., Volume 65 (1996) no. 213, pp. 397-425

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