Temps d'instabilité pour les perturbations de systèmes intégrables analytiques

Jean-Pierre Marco

doi:10.1016/j.crma.2004.12.019

Systèmes dynamiques

Temps d'instabilité pour les perturbations de systèmes intégrables analytiques

Présenté par : Charles-Michel Marle

Jean-Pierre Marco ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 295-300.

Résumé
Abstract

Pour $n \in N^{*}$ et $R > 0$ on pose $B_{R}^{n} = {x \in R^{n} | ‖ x ‖_{\infty} < R}$ . Soient $n ⩾ 4$ et $R > 1$ . On construit une suite ${(H_{j})}_{j ⩾ 0}$ de Hamiltoniens analytiques sur un voisinage complexe V de $T^{n} \times B_{R}$ , perturbations du Hamiltonien $ℏ (r) = \frac{1}{2} (r_{1}^{2} + \dots + r_{n - 1}^{2}) + r_{n}$ , qui possèdent des points pour lesquels le temps de dérive suivant les variables d'action est majoré par $\exp c {(1 / ɛ_{j})}^{1 / 2 (n - 3)}$ , où $c > 0$ est une constante et $ɛ_{j} = ‖ H_{j} - ℏ ‖_{C^{0} (V)}$ . Les orbites considérées passent près de résonances doubles, le résultat est donc presque optimal puisque l'exposant de stabilité pour de telles orbites est $1 / 2 (n - 2)$ .

For a positive integer n and $R > 0$ , we set $B_{R}^{n} = {x \in R^{n} | ‖ x ‖_{\infty} < R}$ . Given $n ⩾ 4$ and $R > 1$ we construct a sequence of analytic perturbations $(H_{j})$ of the completely integrable Hamiltonian $ℏ (r) = \frac{1}{2} (r_{1}^{2} + \dots + r_{n - 1}^{2}) + r_{n}$ on $T^{n} \times B_{R}^{n}$ , with unstable orbits for which we can estimate the time of drift in the action space. These functions $H_{j}$ are analytic on a fixed complex neighborhood V of $T^{n} \times B_{R}^{n}$ , and if $ɛ_{j} : = ‖ H_{j} - ℏ ‖_{C^{0} (V)}$ the time of drift of these orbits is smaller than $\exp (c {(1 / ɛ_{j})}^{1 / 2 (n - 3)})$ for a fixed constant $c > 0$ . Our unstable orbits pass close to a doubly resonant surface, so the result is almost optimal since the stability exponent for such orbits is $1 / 2 (n - 2)$ .

Reçu le : 2004-09-28
Accepté le : 2004-12-12
Publié le : 2005-01-22

DOI : 10.1016/j.crma.2004.12.019

Affiliations des auteurs :

Jean-Pierre Marco ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

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Jean-Pierre Marco. Temps d'instabilité pour les perturbations de systèmes intégrables analytiques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 295-300. doi : 10.1016/j.crma.2004.12.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.12.019/

Bibliographie
Cité par

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