Modèle topologique pour des applications de Hénon complexes

Sylvain Bonnot

doi:10.1016/j.crma.2005.01.003

Systèmes dynamiques/Analyse complexe

Modèle topologique pour des applications de Hénon complexes

Présenté par : Adrien Douady

Sylvain Bonnot ¹

¹ Malott Hall, Cornell University, Ithaca NY, 14853-4201, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 291-294.

Résumé (VO)
Abstract

Nous contruisons un modèle simple $(g, Y)$ dans lequel Y est le complément dans $R^{4}$ d'un cône au-dessus d'un solénoïde vivant dans la sphère unité $S^{3}$ , tandis que l'application g s'exprime en coordonnées « sphériques » par $g (r, θ) = (r^{2}, σ (θ))$ , où σ est une application solénoïdale de degré deux. Nous montrons alors que pour tout polynôme complexe $P_{c} : z \mapsto z^{2} + c$ ayant un point fixe attractif il existe un $ε > 0$ pour lequel toutes les applications de Hénon complexes $H_{a, c} : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} P_{c} (x) - a y \\ x \end{matrix})$ vérifiant $0 < | a | < ε$ sont topologiquement conjuguées au modèle $(g, Y)$ .

In order to describe the dynamics of the complex Hénon map $H_{a, c} : (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} P_{c} (x) - a y \\ x \end{matrix})$ , where $P_{c} : z \mapsto z^{2} + c$ has an attractive fixed point, we build a topological model $(g, Y)$ . In this model Y is the complement in $R^{4}$ of a cone over a solenoid lying in the unit 3-sphere, and $g : Y \to Y$ is a map given in spherical coordinates by $g (r, θ) = (r^{2}, σ (θ))$ , where σ is a solenoidal map of degree two. Then we prove the existence of a constant $ε > 0$ such that any Hénon map $H_{a, c}$ with $0 < | a | < ε$ is conjugate to our model $(g, Y)$ .

Reçu le : 2004-11-24
Accepté le : 2005-01-05
Publié le : 2005-01-25

DOI : 10.1016/j.crma.2005.01.003

Affiliations des auteurs :

Sylvain Bonnot ¹

¹ Malott Hall, Cornell University, Ithaca NY, 14853-4201, USA

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Sylvain Bonnot. Modèle topologique pour des applications de Hénon complexes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 291-294. doi : 10.1016/j.crma.2005.01.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.01.003/

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