Inégalités d'incertitude associées à des fonctions homogènes

Bruno Demange

doi:10.1016/j.crma.2005.03.028

Analyse mathématique

Inégalités d'incertitude associées à des fonctions homogènes

Présenté par : par Jean-Pierre Kahane

Bruno Demange ¹

¹ UMR 6628-MAPMO, université d'Orléans, B.P. 6759, 45067 Orléans cedex 2, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 10, pp. 709-714.

Résumé
Abstract

Le principe d'incertitude établit qu'une fonction non nulle et sa transformée de Fourier ne peuvent pas être localisées simultanément. Ceci se traduit par exemple par des conditions sur le support E et le spectre $\hat{E}$ de la fonction. Il est bien connu que ceux-ci ne peuvent être simultanément de mesure finie. Il est démontré dans Shubin et al. [Geom. Funct. Anal. 8 (1998) 932–964] qu'ils ne peuvent pas non plus être ɛ-minces. Nous donnons ici d'autres exemples d'ensembles E et $\hat{E}$ pour lesquels on a cette propriété. Nous exprimons la rareté des ensembles considérés à partir d'un pavage dyadique de l'espace lié aux lignes de niveau de la fonction ${| x_{1} |}^{α_{1}} \dots {| x_{d} |}^{α_{d}}$ . Ils ne sont pas ɛ-minces ni de mesure finie en général. Nous démontrons que les paires ainsi construites sont fortement annihilantes, suivant la terminologie du livre de Havin et Jöricke.

The uncertainty principle states that a nonzero function and its Fourier transform cannot be both sharply localized. It is well known that the support and the spectrum of a function cannot both have finite measure. In Shubin et al. [Geom. Funct. Anal. 8 (1998) 932–964], it is shown that they cannot be contained in ɛ-thin sets E and $\hat{E}$ . We give here other examples of sets E and $\hat{E}$ having this property. The thinness of the sets is expressed in terms of a dyadic decomposition of the space, which is related to the functions ${| x_{1} |}^{α_{1}} \dots {| x_{d} |}^{α_{d}}$ on $R^{d}$ . These sets are not ɛ-thin in general. We prove that the pairs of sets we consider are strongly annihilating in the sense of Havin and Jöricke.

Reçu le : 2005-02-09
Accepté le : 2005-03-01
Publié le : 2005-05-04

DOI : 10.1016/j.crma.2005.03.028

Affiliations des auteurs :

Bruno Demange ¹

¹ UMR 6628-MAPMO, université d'Orléans, B.P. 6759, 45067 Orléans cedex 2, France

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Bruno Demange. Inégalités d'incertitude associées à des fonctions homogènes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 10, pp. 709-714. doi : 10.1016/j.crma.2005.03.028. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.03.028/

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Cité par Sources :

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