[Uncertainty inequalities associated to some homogenous functions]
The uncertainty principle states that a nonzero function and its Fourier transform cannot be both sharply localized. It is well known that the support and the spectrum of a function cannot both have finite measure. In Shubin et al. [Geom. Funct. Anal. 8 (1998) 932–964], it is shown that they cannot be contained in ɛ-thin sets E and . We give here other examples of sets E and having this property. The thinness of the sets is expressed in terms of a dyadic decomposition of the space, which is related to the functions on . These sets are not ɛ-thin in general. We prove that the pairs of sets we consider are strongly annihilating in the sense of Havin and Jöricke.
Le principe d'incertitude établit qu'une fonction non nulle et sa transformée de Fourier ne peuvent pas être localisées simultanément. Ceci se traduit par exemple par des conditions sur le support E et le spectre de la fonction. Il est bien connu que ceux-ci ne peuvent être simultanément de mesure finie. Il est démontré dans Shubin et al. [Geom. Funct. Anal. 8 (1998) 932–964] qu'ils ne peuvent pas non plus être ɛ-minces. Nous donnons ici d'autres exemples d'ensembles E et pour lesquels on a cette propriété. Nous exprimons la rareté des ensembles considérés à partir d'un pavage dyadique de l'espace lié aux lignes de niveau de la fonction . Ils ne sont pas ɛ-minces ni de mesure finie en général. Nous démontrons que les paires ainsi construites sont fortement annihilantes, suivant la terminologie du livre de Havin et Jöricke.
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Bruno Demange 1
@article{CRMATH_2005__340_10_709_0, author = {Bruno Demange}, title = {In\'egalit\'es d'incertitude associ\'ees \`a des fonctions homog\`enes}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {709--714}, publisher = {Elsevier}, volume = {340}, number = {10}, year = {2005}, doi = {10.1016/j.crma.2005.03.028}, language = {fr}, }
Bruno Demange. Inégalités d'incertitude associées à des fonctions homogènes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 10, pp. 709-714. doi : 10.1016/j.crma.2005.03.028. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.03.028/
[1] On support properties of -functions and their Fourier transforms, J. Funct. Anal., Volume 24 3 (1977), pp. 258-267
[2] A. Bonami, B. Demange, A Survey on the Uncertainty Principles for Quadratic Forms, Compte-rendu de conférence, accepté
[3] B. Demange, Uncertainty Principles for the Ambiguity function, soumis
[4] B. Demange, Principes d'Incertitude associés à des formes quadratiques son des paires non dégénérées, Thèse, université d'Orléans, 2004
[5] The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1994
[6] The Uncertainty Principle for certain densities, Int. Math. Res. Notices, Volume 17 (2003), pp. 933-951
[7] Some results related to the Logvinenko–Sereda theorem, Proc. Amer. Soc., Volume 129 (2001) no. 10, pp. 3037-3047
[8] Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the Uncertainty Principle type, Translated in St. Petersburg Math. J., Volume 5 (1993) no. 4, pp. 3-66
[9] Some harmonic analysis questions suggested by Anderson–Bernoulli models, Geom. Funct. Anal., Volume 8 (1998), pp. 932-964
Cited by Sources:
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