Sur les bornes inférieures de l'écart des variétés invariantes

Jean-Pierre Marco

doi:10.1016/j.crma.2005.04.020

Systèmes dynamiques

Sur les bornes inférieures de l'écart des variétés invariantes
[Lower bounds of the splitting of the invariant manifolds]

Presented by: Charles-Michel Marle

Jean-Pierre Marco ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 11, pp. 839-842

Résumé (Original language)
Abstract

Soit m un entier ⩾3, on pose $ℏ (r) = \frac{1}{2} (r_{1}^{2} + \dots + r_{m - 1}^{2}) + r_{m}$ pour $r \in R^{m}$ , et on considère un vecteur ${\bar{ω}}^{0} \in R^{m - 2}$ mal approché par les rationnels (au sens de l'approximation simultanée). Fixons $α > 1$ , $L > 0$ et $R > 1 + ‖ {\bar{ω}}^{0} ‖_{\infty}$ . Nous construisons une suite $(H_{N})$ de Hamiltoniens de classe $Gevrey - (α, L)$ sur $T^{m} \times {\bar{B}}_{\infty} (0, R)$ , qui converge vers ℏ lorsque $N \to \infty$ , tels que le système engendré par $H_{N}$ laisse invariant un tore hyperbolique de vecteur fréquence fixe $({\bar{ω}}^{0}, 1)$ , qui admet un point homocline en lequel la matrice d'écart des variétés invariantes est de la forme $diag (0, ν_{N}, \dots, ν_{N}, 0) \in M_{m} (R)$ , avec $ν_{N} ⩾ \exp (- c {(\frac{1}{ɛ_{N}})}^{\frac{1}{2 (α - 1) (m - 2)}})$ , où $ɛ_{N} : = ‖ H_{N} - ℏ ‖_{α, L}$ et $c > 0$ .

Let m be an integer ⩾3, set $ℏ (r) = \frac{1}{2} (r_{1}^{2} + \dots + r_{m - 1}^{2}) + r_{m}$ for $r \in R^{m}$ , and consider a badly approximable vector ${\bar{ω}}^{0} \in R^{m - 2}$ . Fix $α > 1$ , $L > 0$ and $R > 1 + ‖ {\bar{ω}}^{0} ‖_{\infty}$ . We construct a sequence $(H_{N})$ of $Gevrey - (α, L)$ Hamiltonian functions of $T^{m} \times {\bar{B}}_{\infty} (0, R)$ , which converges to ℏ when $N \to \infty$ , such that for each N the system generated by $H_{N}$ possesses a $(m - 1)$ -dimensional hyperbolic invariant torus with fixed frequency vector $({\bar{ω}}^{0}, 1)$ , which admits a homoclinic point with splitting matrix of the form $diag (0, ν_{N}, \dots, ν_{N}, 0) \in M_{m} (R)$ , with $ν_{N} ⩾ \exp (- c {(\frac{1}{ɛ_{N}})}^{\frac{1}{2 (α - 1) (m - 2)}})$ , where $ɛ_{N} : = ‖ H_{N} - ℏ ‖_{α, L}$ and $c > 0$ .

Received: 2004-09-28
Accepted: 2005-04-12
Published online: 2005-05-11

DOI: 10.1016/j.crma.2005.04.020

Author's affiliations:

Jean-Pierre Marco ¹

¹ Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

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AU  - Jean-Pierre Marco
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2005
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Jean-Pierre Marco. Sur les bornes inférieures de l'écart des variétés invariantes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 11, pp. 839-842. doi: 10.1016/j.crma.2005.04.020

References
Cited by

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[2] P. Lochak; J.-P. Marco; D. Sauzin On the splitting of invariant manifolds in multi-dimensional near-integrable Hamiltonian systems, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 163 (2003)

[3] J.-P. Marco, Uniform lower bounds of the splitting for analytic symplectic systems, soumis aux Ann. Inst. Fourier

[4] J.-P. Marco; D. Sauzin Stability and instability for Gevrey quasi-convex near-integrable Hamiltonian systems, Publ. Math. I.H.E.S., Volume 96 (2003)

[5] D. Treschev A mechanism for the destruction of resonance tori in Hamiltonian systems, Math. USSR-Sb., Volume 68 (1991), pp. 181-203

Cited by Sources:

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