Détermination du rang des tissus du plan et autres invariants géométriques

Olivier Ripoll

doi:10.1016/j.crma.2005.07.007

Géométrie différentielle

Détermination du rang des tissus du plan et autres invariants géométriques
[Determination of the rank of planar webs and other geometrical invariants]

Presented by: Bernard Malgrange

Olivier Ripoll ¹

¹ LaBAG, UMR 5467, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 4, pp. 247-252.

Abstract
Résumé

Let $W (d)$ be a non singular d-web in the plane with $d ⩾ 3$ , presented by a first order differential equation of the type $F (x, y, y^{'}) : = a_{0} (x, y) \cdot {(y^{'})}^{d} + a_{1} (x, y) \cdot {(y^{'})}^{d - 1} + \dots + a_{d} (x, y) = 0$ , where $a_{i} \in C {x, y}$ and let $(E, \nabla)$ be the connection associated with F. We show that the trace of its curvature is the sum of the Blaschke curvatures of extracted 3-webs of $W (d)$ . Our main result is an explicit determination of the rank of $W (d)$ . We also recover some well known results in web geometry.

Soit $W (d)$ un d-tissu non singulier du plan présenté par une équation différentielle du premier ordre à coefficients dans $C {x, y}$ de la forme $F (x, y, y^{'}) : = a_{0} (x, y) \cdot {(y^{'})}^{d} + a_{1} (x, y) \cdot {(y^{'})}^{d - 1} + \dots + a_{d} (x, y) = 0$ , avec $d ⩾ 3$ et dont on note $(E, \nabla)$ sa connexion associée. Nous montrons que la trace de la courbure de $(E, \nabla)$ est la somme des courbures de Blaschke des 3-tissus extraits. En outre nous indiquons comment la courbure rend compte de la linéarisabilité du tissu $W (d)$ . Notre résultat principal est un procédé explicite de détermination pour d quelconque du rang de $W (d)$ , à partir des coefficients de F. En application, nous retrouvons également des résultats connus en géométrie des tissus.

Received: 2005-01-10
Accepted: 2005-07-09
Published online: 2005-08-15

DOI: 10.1016/j.crma.2005.07.007

Author's affiliations:

Olivier Ripoll ¹

¹ LaBAG, UMR 5467, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

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Olivier Ripoll. Détermination du rang des tissus du plan et autres invariants géométriques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 4, pp. 247-252. doi : 10.1016/j.crma.2005.07.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.07.007/

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