Détermination du rang des tissus du plan et autres invariants géométriques

Olivier Ripoll

doi:10.1016/j.crma.2005.07.007

Géométrie différentielle

Détermination du rang des tissus du plan et autres invariants géométriques
[Determination of the rank of planar webs and other geometrical invariants]

Bernard Malgrange

Olivier Ripoll ¹

¹LaBAG, UMR 5467, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 4, pp. 247-252

Résumé (Original language)
Abstract

Soit $W (d)$ un d-tissu non singulier du plan présenté par une équation différentielle du premier ordre à coefficients dans $C {x, y}$ de la forme $F (x, y, y^{'}) : = a_{0} (x, y) \cdot {(y^{'})}^{d} + a_{1} (x, y) \cdot {(y^{'})}^{d - 1} + \dots + a_{d} (x, y) = 0$ , avec $d ⩾ 3$ et dont on note $(E, \nabla)$ sa connexion associée. Nous montrons que la trace de la courbure de $(E, \nabla)$ est la somme des courbures de Blaschke des 3-tissus extraits. En outre nous indiquons comment la courbure rend compte de la linéarisabilité du tissu $W (d)$ . Notre résultat principal est un procédé explicite de détermination pour d quelconque du rang de $W (d)$ , à partir des coefficients de F. En application, nous retrouvons également des résultats connus en géométrie des tissus.

Let $W (d)$ be a non singular d-web in the plane with $d ⩾ 3$ , presented by a first order differential equation of the type $F (x, y, y^{'}) : = a_{0} (x, y) \cdot {(y^{'})}^{d} + a_{1} (x, y) \cdot {(y^{'})}^{d - 1} + \dots + a_{d} (x, y) = 0$ , where $a_{i} \in C {x, y}$ and let $(E, \nabla)$ be the connection associated with F. We show that the trace of its curvature is the sum of the Blaschke curvatures of extracted 3-webs of $W (d)$ . Our main result is an explicit determination of the rank of $W (d)$ . We also recover some well known results in web geometry.

Article information
Cite this article

Received: 2005-01-10
Accepted: 2005-07-09
Published online: 2005-08-15

DOI: 10.1016/j.crma.2005.07.007

Author's affiliations:

Olivier Ripoll ¹

¹ LaBAG, UMR 5467, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Olivier Ripoll. Détermination du rang des tissus du plan et autres invariants géométriques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 4, pp. 247-252. doi: 10.1016/j.crma.2005.07.007

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