A mountain pass theorem without Palais–Smale condition

Marcello Lucia

doi:10.1016/j.crma.2005.07.022

Partial Differential Equations

A mountain pass theorem without Palais–Smale condition
[Un théorème du col sans condition de Palais–Smale]

Présenté par : Haïm Brezis

Marcello Lucia ¹

¹ Department of Mathematics, Rutgers University, Hill-Center, Piscataway, NJ 08854, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 5, pp. 287-291.

Résumé
Abstract

Étant donné un espace de Hilbert $(H, 〈 \cdot, \cdot 〉)$ , Λ un intervalle de $R$ et $J \in C^{2} (H, R)$ dont le gradient $\nabla J : H \to H$ est une application compacte, nous considérons une famille de fonctionelle de la forme :

I (λ, u) = 〈 u, u 〉 - λ J (u), (λ, u) \in Λ \times H .

Sans autres hypothèses de compacité, nous présentons un lemme de déformation pour détecter des points critiques. En particulier, si

I (\bar{λ}, \cdot)

a une structure de « col » pour un certain

\bar{λ} \in Λ

, nous montrons l'existence d'une suite

λ_{n} \to \bar{λ}

pour laquelle chaque

I (λ_{n}, \cdot)

admet un point critique.

Given a Hilbert space $(H, 〈 \cdot, \cdot 〉)$ , Λ an interval of $R$ and $J \in C^{2} (H, R)$ whose gradient $\nabla J : H \to H$ is a compact mapping, we consider a family of functionals of the type:

I (λ, u) = 〈 u, u 〉 - λ J (u), (λ, u) \in Λ \times H .

Without further compactness assumptions, we present a deformation lemma to detect critical points. In particular, if

I (\bar{λ}, \cdot)

has a ‘mountain pass structure’ for some

\bar{λ} \in Λ

, we deduce the existence of a sequence

λ_{n} \to \bar{λ}

for which each

I (λ_{n}, \cdot)

has a critical point.

Accepté le : 2005-07-17
Publié le : 2005-08-30

DOI : 10.1016/j.crma.2005.07.022

Affiliations des auteurs :

Marcello Lucia ¹

¹ Department of Mathematics, Rutgers University, Hill-Center, Piscataway, NJ 08854, USA

@article{CRMATH_2005__341_5_287_0,
     author = {Marcello Lucia},
     title = {A mountain pass theorem without {Palais{\textendash}Smale} condition},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {287--291},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {341},
     number = {5},
     year = {2005},
     doi = {10.1016/j.crma.2005.07.022},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Marcello Lucia
TI  - A mountain pass theorem without Palais–Smale condition
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2005
SP  - 287
EP  - 291
VL  - 341
IS  - 5
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2005.07.022
LA  - en
ID  - CRMATH_2005__341_5_287_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Marcello Lucia
%T A mountain pass theorem without Palais–Smale condition
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2005
%P 287-291
%V 341
%N 5
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2005.07.022
%G en
%F CRMATH_2005__341_5_287_0

Marcello Lucia. A mountain pass theorem without Palais–Smale condition. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 5, pp. 287-291. doi : 10.1016/j.crma.2005.07.022. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.07.022/

Bibliographie
Cité par

[1] A. Ambrosetti; P.H. Rabinowitz Dual variational methods in critical points theory and applications, J. Funct. Anal., Volume 14 (1973), pp. 349-381

[2] T. Aubin Nonlinear Analysis on Manifolds. Monge–Ampère Equation, Springer-Verlag, Berlin, 1982

[3] W. Ding; J. Jost; J. Li; G. Wang Existence results for mean field equations, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 16 (1999), pp. 653-666

[4] M. Struwe; G. Tarantello On multivortex solutions in Chern–Simons Gauge theory, Boll. U.M.I. B (8), Volume 1 (1998), pp. 109-121

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Existence of solutions for semilinear elliptic problems in exterior of ball

Jacopo Bellazzini

C. R. Math (2010)