Comptes Rendus
no. 12
Théorie des nombres/Combinatoire
Démonstration de la conjecture de Dumont
Présenté par : Étienne Ghys
Bodo Lass1
1 Institut Camille Jordan, UMR 5208 du CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, 43, boulevard du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 12, pp. 713-718

Soit

rk1(2)(n):=|{(x1,x2,…,xk)∈Nk|n=x12+x22+⋯+xk2,xi≡1(mod2),1⩽i⩽k}|,
ck1(4)(n):=|{(x1,x2,…,xk)∈Nk|n=x1x2+x2x3+⋯+xk−1xk+xkx1,xi≡1(4)}|,
ck3(4)(n):=|{(x1,x2,…,xk)∈Nk|n=x1x2+x2x3+⋯+xk−1xk+xkx1,xi≡3(4)}|.
Dumont a conjecturé l'identité rk1(2)(n)=ck1(4)(n)−(−1)kck3(4)(n) qui généralise, notamment, les résultats classiques de Lagrange, Gauß, Jacobi et Kronecker sur les décompositions de tout entier en deux, trois et quatre carrés. Nous donnons une preuve combinatoire de la conjecture de Dumont.

Let

rk1(2)(n):=|{(x1,x2,…,xk)∈Nk|n=x12+x22+⋯+xk2,xi≡1(mod2),1⩽i⩽k}|,
ck1(4)(n):=|{(x1,x2,…,xk)∈Nk|n=x1x2+x2x3+⋯+xk−1xk+xkx1,xi≡1(4)}|,
ck3(4)(n):=|{(x1,x2,…,xk)∈Nk|n=x1x2+x2x3+⋯+xk−1xk+xkx1,xi≡3(4)}|.
Dumont has conjectured the identity rk1(2)(n)=ck1(4)(n)−(−1)kck3(4)(n), which generalizes, in particular, the classical results of Lagrange, Gauß, Jacobi and Kronecker on the sums of two, three and four squares. We give a combinatorial proof of Dumont's conjecture.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.10.018

Bodo Lass 1

1 Institut Camille Jordan, UMR 5208 du CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, 43, boulevard du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, France 
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Bodo Lass. Démonstration de la conjecture de Dumont. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 341 (2005) no. 12, pp. 713-718. doi: 10.1016/j.crma.2005.10.018

[1] G. Andrews The Theory of Partitions, Teoriya razbienii, Cambridge University Press, 1998 (en russe)

[2] D. Dumont, A conjecture on sums of any number of odd squares, Prépublication

[3] A. Weil Sur les sommes de trois et quatre carrés, Enseign. Math. II. Sér., Volume 20 (1974), pp. 215-222

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