Comptes Rendus
no. 5
Géométrie algébrique
Classes de Hirzebruch et classes de Chern motiviques

Présenté par : Bernard Malgrange

Jean-Paul Brasselet1 ; Jörg Schürmann2 ; Shoji Yokura3
1 IML, case 907, Luminy, 13288 Marseille cedex 9, France
2 Westf. Wilhelms-Universität, SFB 478 “Geometrische Strukturen in der Mathematik”, Hittorfstr. 27, 48149 Münster, Allemagne
3 Department of Mathematics and Computer Science, Faculty of Science, University of Kagoshima, 21-35 Korimoto 1-chome, Kagoshima 890-0065, Japon
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 5, pp. 325-328.

Étant donnée une variété algébrique complexe X, nous introduisons de nouvelles théories de classes caractéristiques, définies sur le groupe de Grothendieck relatif des variétés algébriques complexes sur X, construit et étudié par Looijenga et Bittner dans le cadre de l'intégration motivique. L'une d'entre elles Ty est une version homologique de la mesure motivique et généralise la caractéristique d'Hirzebruch correspondante. Elle unifie la transformation de Chern de Schwartz–MacPherson, la transformation de Todd de Baum–Fulton–MacPherson et la transformation de L-classe de Cappell–Shaneson.

Let X be a complex algebraic variety. We define and study new theories of characteristic classes, defined on the relative Grothendieck group of complex algebraic varieties over X as introduced and studied by Looijenga and Bittner in relation to motivic integration. One of them, Ty is a homology class version of the motivic measure and generalizes the corresponding Hirzebruch characteristic. It unifies the Chern class transformation of Schwartz and MacPherson, the Todd class transformation of Baum–Fulton–MacPherson and the L-class transformation of Cappell–Shaneson.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.12.022
Jean-Paul Brasselet 1 ; Jörg Schürmann 2 ; Shoji Yokura 3

1 IML, case 907, Luminy, 13288 Marseille cedex 9, France
2 Westf. Wilhelms-Universität, SFB 478 “Geometrische Strukturen in der Mathematik”, Hittorfstr. 27, 48149 Münster, Allemagne
3 Department of Mathematics and Computer Science, Faculty of Science, University of Kagoshima, 21-35 Korimoto 1-chome, Kagoshima 890-0065, Japon 
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Jean-Paul Brasselet; Jörg Schürmann; Shoji Yokura. Classes de Hirzebruch et classes de Chern motiviques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 5, pp. 325-328. doi : 10.1016/j.crma.2005.12.022. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.12.022/

[1] P. Baum; W. Fulton; R. MacPherson Riemann–Roch for singular varieties, Publ. Math. IHES, Volume 45 (1975), pp. 101-145

[2] F. Bittner The universal Euler–Poincaré characteristic for varieties of characteristic zero, Comp. Math., Volume 140 (2004), pp. 1011-1032

[3] J.-P. Brasselet; S. Schürmann; S. Yokura Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular spaces (Preprint, arXiv) | arXiv

[4] S. Cappell; J. Shaneson Stratifiable maps and topological invariants, J. Amer. Math. Soc., Volume 4 (1991), pp. 521-551

[5] P. Du Bois Complexe de de Rham filtré d'une variété singulière, Bull. Soc. Math. France, Volume 109 (1981), pp. 41-81

[6] W. Fulton; S. Lang Riemann–Roch Algebra, Springer, New York, 1985

[7] F. Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry, Springer, New York, 1966

[8] R. MacPherson Chern classes for singular algebraic varieties, Ann. of Math., Volume 100 (1974), pp. 423-432

[9] S. Yokura On Cappell–Shaneson's homology L-class of singular algebraic varieties, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 347 (1995), pp. 1005-1012

[10] S. Yokura A generalized Grothendieck–Riemann–Roch theorem for Hirzebruch's χy-characteristic and Ty-characteristic, Publ. RIMS, Volume 30 (1994), pp. 603-610

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