Comptes Rendus
no. 5
Probability Theory
An extension to the Wiener space of the arbitrary functions principle

Presented by: Paul Malliavin

Nicolas Bouleau1
1 ENPC, ParisTech, 6 et 8, avenue Blaise-Pascal, cité Descartes, Champs-sur-Marne, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 5, pp. 329-332.

The arbitrary functions principle says that the fractional part of nX converges stably to an independent random variable uniformly distributed on the unit interval, as soon as the random variable X possesses a density or a characteristic function vanishing at infinity. We prove a similar property for random variables defined on the Wiener space when the stochastic measure dBs is crumpled on itself.

Le principe des fonctions arbitraires dit que la partie fractionnaire de nX converge stablement vers une variable aléatoire indépendante uniformément répartie sur [0,1] dès que X a une densité ou seulement une fonction caractéristique tendant vers zéro à l'infini. Nous établissons une propriété analogue pour des variables aléatoires définies sur l'espace du mouvement brownien par repliement de la mesure stochastique dBs sur elle-même.

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DOI: 10.1016/j.crma.2006.06.028

Nicolas Bouleau 1

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[1] N. Bouleau, When and how an error yields a Dirichlet form, J. Funct. Anal., in press

[2] E. Hopf, Über die Bedeutung der willkürlichen Funktionen für die Wahrscheinlichkeitstheorie, Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung XLVI, I, 9/12 (1936) 179–194

[3] Th. Kurtz; Ph. Protter Wong–Zakai corrections, random evolutions and simulation schemes for SDEs, Stochastic Analysis, Academic Press, 1991, pp. 331-346

[4] R. Lyons Seventy years of Rajchman measures, J. Fourier Anal. Appl. (1995), pp. 363-377 (Kahane special issue)

[5] H. Poincaré Calcul des Probabilités, Gauthier-Villars, 1912

[6] H. Rootzén Limit distribution for the error in approximation of stochastic integrals, Ann. Probab., Volume 8 (1980), pp. 241-251

Cited by Sources:

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