Comptes Rendus
no. 5
Probability Theory
An extension to the Wiener space of the arbitrary functions principle
[Une extension à l'espace de Wiener du principe des fonctions arbitraires]

Présenté par : Paul Malliavin

Nicolas Bouleau1
1 ENPC, ParisTech, 6 et 8, avenue Blaise-Pascal, cité Descartes, Champs-sur-Marne, 77455 Marne-la-Vallée cedex 2, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 5, pp. 329-332.

Le principe des fonctions arbitraires dit que la partie fractionnaire de nX converge stablement vers une variable aléatoire indépendante uniformément répartie sur [0,1] dès que X a une densité ou seulement une fonction caractéristique tendant vers zéro à l'infini. Nous établissons une propriété analogue pour des variables aléatoires définies sur l'espace du mouvement brownien par repliement de la mesure stochastique dBs sur elle-même.

The arbitrary functions principle says that the fractional part of nX converges stably to an independent random variable uniformly distributed on the unit interval, as soon as the random variable X possesses a density or a characteristic function vanishing at infinity. We prove a similar property for random variables defined on the Wiener space when the stochastic measure dBs is crumpled on itself.

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DOI : 10.1016/j.crma.2006.06.028
Nicolas Bouleau 1

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Nicolas Bouleau. An extension to the Wiener space of the arbitrary functions principle. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 5, pp. 329-332. doi : 10.1016/j.crma.2006.06.028. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.06.028/

[1] N. Bouleau, When and how an error yields a Dirichlet form, J. Funct. Anal., in press

[2] E. Hopf, Über die Bedeutung der willkürlichen Funktionen für die Wahrscheinlichkeitstheorie, Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung XLVI, I, 9/12 (1936) 179–194

[3] Th. Kurtz; Ph. Protter Wong–Zakai corrections, random evolutions and simulation schemes for SDEs, Stochastic Analysis, Academic Press, 1991, pp. 331-346

[4] R. Lyons Seventy years of Rajchman measures, J. Fourier Anal. Appl. (1995), pp. 363-377 (Kahane special issue)

[5] H. Poincaré Calcul des Probabilités, Gauthier-Villars, 1912

[6] H. Rootzén Limit distribution for the error in approximation of stochastic integrals, Ann. Probab., Volume 8 (1980), pp. 241-251

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