Uniqueness results for pseudomonotone problems with $ p>2$

Juan Casado-Díaz; François Murat; Alessio Porretta

doi:10.1016/j.crma.2007.02.007

Partial Differential Equations

Uniqueness results for pseudomonotone problems with

p > 2

Presented by: Pierre-Louis Lions

Juan Casado-Díaz ¹; François Murat ²; Alessio Porretta ³

¹ Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla, c/Tarfia s/n, 41012 Sevilla, Spain
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, boîte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France
³ Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata, Via della ricerca scientifica 1, 00133 Roma, Italy

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 487-492.

Abstract
Résumé

We consider a pseudomonotone operator, the model of which is $- div (b (x, u) {| \nabla u |}^{p - 2} \nabla u)$ with $1 < p < + \infty$ and $b (x, s)$ a Lipschitz continuous function in s which hold satisfies $0 < α ⩽ b (x, s) ⩽ β < + \infty$ . We show that the comparison principle (and therefore the uniqueness for the Dirichlet problem) in two particular cases, namely the one-dimensional case, and the case where at least one of the right-hand sides does not change sign. To the best of our knowledge these results are new for $p > 2$ . Full detailed proofs are given in the present Note. The results continue to hold when Ω is unbounded.

Nous considérons un opérateur pseudomonotone du type $- div (b (x, u) {| \nabla u |}^{p - 2} \nabla u)$ , avec $1 < p < + \infty$ et $b (x, s)$ une fonction Lipschitzienne en s qui vérifie $0 < α ⩽ b (x, s) ⩽ β < + \infty$ . Nous démontrons que cet opérateur satisfait le principe de comparaison (et donc qu'on a unicité pour le problème de Dirichlet) dans deux cas particuliers : en dimension 1, et dans le cas où au moins l'un des deux seconds membres ne change pas de signe. A notre connaissance, ces résultats sont nouveaux quand $p > 2$ . Les démonstrations complètes sont données dans cette Note. Les résultats restent valides quand Ω est non borné.

Received: 2005-04-05
Accepted: 2007-01-30
Published online: 2007-04-15

DOI: 10.1016/j.crma.2007.02.007

Author's affiliations:

Juan Casado-Díaz ¹; François Murat ²; Alessio Porretta ³

¹ Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla, c/Tarfia s/n, 41012 Sevilla, Spain
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, boîte courrier 187, 75252 Paris cedex 05, France
³ Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata, Via della ricerca scientifica 1, 00133 Roma, Italy

@article{CRMATH_2007__344_8_487_0,
     author = {Juan Casado-D{\'\i}az and Fran\c{c}ois Murat and Alessio Porretta},
     title = {Uniqueness results for pseudomonotone problems with $ p>2$},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {487--492},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {344},
     number = {8},
     year = {2007},
     doi = {10.1016/j.crma.2007.02.007},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Juan Casado-Díaz
AU  - François Murat
AU  - Alessio Porretta
TI  - Uniqueness results for pseudomonotone problems with $ p>2$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2007
SP  - 487
EP  - 492
VL  - 344
IS  - 8
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2007.02.007
LA  - en
ID  - CRMATH_2007__344_8_487_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Juan Casado-Díaz
%A François Murat
%A Alessio Porretta
%T Uniqueness results for pseudomonotone problems with $ p>2$
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2007
%P 487-492
%V 344
%N 8
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2007.02.007
%G en
%F CRMATH_2007__344_8_487_0

Juan Casado-Díaz; François Murat; Alessio Porretta. Uniqueness results for pseudomonotone problems with $ p>2$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 8, pp. 487-492. doi : 10.1016/j.crma.2007.02.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.02.007/

References
Cited by

[1] M. Artola Sur une classe de problèmes paraboliques quasilinéaires, Boll. Un. Mat. Ital., Volume 5 (1986), pp. 51-70

[2] L. Boccardo; T. Gallouët; F. Murat Unicité de la solution de certaines équations elliptiques non linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 315 (1992) no. I, pp. 1159-1164

[3] L. Boccardo; F. Murat; J.-P. Puel Quelques propriétés des opérateurs elliptiques quasi linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 307 (1988) no. I, pp. 749-752

[4] J. Carrillo Unicité des solutions du type Kruskov pour des problèmes elliptiques avec des termes de transport non linéaires, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 303 (1986) no. I, pp. 189-192

[5] J. Carrillo; M. Chipot On some elliptic equations involving derivatives of the nonlinearity, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, Volume 100 (1985), pp. 281-294

[6] J. Casado-Díaz Minimal and maximal solutions for Dirichlet pseudomonotone problems, Nonlinear Anal., Volume 43 (2001), pp. 277-291

[7] J. Casado-Díaz The capacity for pseudomonotone operators, Potential Anal., Volume 14 (2001), pp. 73-91

[8] J. Casado-Díaz; A. Porretta Existence and comparison of maximal and minimal solutions for pseudomonotone elliptic problems in $L^{1}$ , Nonlinear Anal., Volume 53 (2003), pp. 351-373

[9] M. Chipot; G. Michaille Uniqueness results and monotonicity properties for strongly nonlinear elliptic variational inequalities, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Volume 16 (1989), pp. 137-166

[10] J. Leray; J.-L. Lions Quelques résultats de Vi $\overset{˘}{s}$ ik sur les problèmes elliptiques non linéaires par les méthodes de Minty–Browder, Bull. Soc. Math. France, Volume 93 (1965), pp. 97-107

[11] J.-L. Lions Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Paris, 1969

[12] A. Mokrane; F. Murat The Lewy–Stampacchia inequality for bilateral problems, Ricerche Mat., Volume 53 (2004), pp. 139-182

[13] A. Porretta Uniqueness of solutions for some nonlinear Dirichlet problems, Nonlinear Differential Equations Appl. (NoDEA), Volume 11 (2004), pp. 407-430

Cited by Sources:

Comments - Policy