Comptes Rendus
no. 2
Logique
Bi-interprétabilité et structures QFA : étude de groupes résolubles et des anneaux commutatifs

Présenté par : Jean-Yves Girard

Anatole Khelif1
1 Équipe de logique mathématique, université Paris 7, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 2, pp. 59-61.

Une structure S de type fini est dite QFA (pour quasi finiment axiomatisable, voir [A. Nies, Separating classes of groups by first order sentences, Internat. J. Algebra Comput. 13 (2003) 287–302]) s'il existe un énoncé du premier ordre satisfait par S telle que toute structure de type fini qui la satisfait est isomorphe à S. Nous montrons que toute structure bi-interprétable avec l'anneau des entiers est QFA et première. Nous appliquons ce résultat d'une part à certains groupes métabéliens et d'autre part aux anneaux commutatifs.

A finitely generated structure is said to be QFA (for quasi-finitely axiomatizable, see [A. Nies, Separating classes of groups by first order sentences, Internat. J. Algebra Comput. 13 (2003) 287–302]) if there exists a first order sentence satisfied by S such that every finitely generated structure satisfying it is isomorphic to S. We prove that every structure which is bi-interprétable with the ring of integers is QFA and prime. We apply this result on the one hand to some metabelian groups and on the other, to commutative rings.

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DOI : 10.1016/j.crma.2007.06.003
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Anatole Khelif. Bi-interprétabilité et structures QFA : étude de groupes résolubles et des anneaux commutatifs. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 2, pp. 59-61. doi : 10.1016/j.crma.2007.06.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.06.003/

[1] O.V. Belegradek Model theory of unitriangular groups, Amer. Math. Soc. Transl., vol. 195, 1999, pp. 1-116

[2] W. Hodges Model Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, 1993

[3] A. Nies Separating classes of groups by first order sentences, Internat. J. Algebra Comput., Volume 13 (2003), pp. 287-302

[4] A. Nies, Describing groups, Bull. Symb. Logic, à paraître

[5] F. Oger, Some new examples of quasi-finitely axiomatizable groups which are prime models, Preprint

[6] N.S. Romanovskii; E.I. Timoshenko On some elementary properties of soluble groups of derived length 2, Sib. Math. J., Volume 44 (2003) no. 2, pp. 350-354

[7] T. Scanlon, Infinite finitely generated fields are biinterpretable with N, Preprint

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