The characteristic polynomial on compact groups with Haar measure: some equalities in law

Paul Bourgade; Ashkan Nikeghbali; Alain Rouault

doi:10.1016/j.crma.2007.06.023

Probability Theory

The characteristic polynomial on compact groups with Haar measure: some equalities in law
[Quelques égalités en lois pour le polynôme caractéristique sur des groupes compacts, sous la mesure de Haar]

Présenté par : Marc Yor

Paul Bourgade ^1,² ; Ashkan Nikeghbali ³ ; Alain Rouault ⁴

¹ ENST, 46, rue Barrault, 75634 Paris cedex 13, France
² Université Paris 6, LPMA, 175, rue du Chevaleret 75013 Paris, France
³ Institut für Mathematik, Universität Zürich, Winterthurerstrasse 190, CH-8057 Zürich, Switzerland
⁴ Université Versailles-Saint Quentin, LMV, bâtiment Fermat, 45, avenue des États-Unis, 78035 Versailles cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 4, pp. 229-232.

Résumé
Abstract

Cette Note présente quelques égalités en loi pour $Z_{N} : = \det (Id - G)$ , où G est un sous-groupe de l'ensemble des matrices unitaires de taille N, muni de son unique mesure de Haar normalisée. En effet, sous des conditions assez générales, $Z_{N}$ peut être décomposé comme le produit de variables aléatoires indépendantes, dont on connait la loi explicitement. Notre résultat peut être obtenu de deux manières : soit par une décomposition récursive de la mesure de Haar (Partie 1) soit en utilisant un résultat de Killip et Nenciu (2004) à propos des polynômes orthogonaux relativement à une certaine mesure sur le cercle unité (Partie 2). Cette dernière méthode nous conduit naturellement à l'étude des déterminants de certaines sous-matrices (Partie 3).

This Note presents some equalities in law for $Z_{N} : = \det (Id - G)$ , where G is an element of a subgroup of the set of unitary matrices of size N, endowed with its unique probability Haar measure. Indeed, under some general conditions, $Z_{N}$ can be decomposed as a product of independent random variables, whose laws are explicitly known. Our results can be obtained in two ways: either by a recursive decomposition of the Haar measure (Section 1) or by previous results by Killip and Nenciu (2004) on orthogonal polynomials with respect to some measure on the unit circle (Section 2). This latter method leads naturally to a study of determinants of a class of principal submatrices (Section 3).

Reçu le : 2007-06-18
Accepté le : 2007-06-21
Publié le : 2007-07-31

DOI : 10.1016/j.crma.2007.06.023

Affiliations des auteurs :

Paul Bourgade ^{1, 2} ; Ashkan Nikeghbali ³ ; Alain Rouault ⁴

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Paul Bourgade; Ashkan Nikeghbali; Alain Rouault. The characteristic polynomial on compact groups with Haar measure: some equalities in law. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 4, pp. 229-232. doi : 10.1016/j.crma.2007.06.023. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.06.023/

Bibliographie
Cité par

[1] P. Bourgade; C.P. Hughes; A. Nikeghbali; M. Yor The characteristic polynomial of a random unitary matrix: a probabilistic approach, 2007 (arXiv:) | arXiv

[2] R. Killip; I. Nenciu Matrix models for circular ensembles, International Mathematics Research Notices, Volume 2004 (2004) no. 50, pp. 2665-2701

[3] A. Rouault Asymptotic behavior of random determinants in the Laguerre, Gram and Jacobi ensembles, 2007 (arXiv:) | arXiv

[4] B. Simon CMV matrices: Five years after, 2006 (arXiv:) | arXiv

Cité par Sources :

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