On the continuity of the second Sobolev best constant

Ezequiel R. Barbosa; Marcos Montenegro

doi:10.1016/j.crma.2007.10.026

Differential Geometry

On the continuity of the second Sobolev best constant
[Sur la continuité de la deuxième meilleure constante de Sololev]

Présenté par : Thierry Aubin

Ezequiel R. Barbosa ¹ ; Marcos Montenegro ¹

¹ Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Caixa Postal 702, 30123-970, Belo Horizonte, MG, Brazil

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 10, pp. 579-582.

Résumé
Abstract

Dans cette Note nous prouvons que la deuxième meilleure constante dans l'inégalité de $L^{p}$ -Sobolev Riemannienne $B_{0} (p, g)$ dépend continûment de g dans la topologie $C^{0}$ quand $1 < p < 2$ . La situation change radicalement lorsque $p = 2$ . En particulier, nous montrons que $B_{0} (2, g)$ est continu en g dans le $C^{2}$ -topologie et ne l'est pas dans le $C^{1, β}$ -topologie.

In this Note we prove that the second Riemannian $L^{p}$ -Sobolev best constant $B_{0} (p, g)$ depends continuously on g in the $C^{0}$ -topology when $1 < p < 2$ . The situation changes significantly in the case $p = 2$ . In particular, we prove that $B_{0} (2, g)$ is continuous on g in the $C^{2}$ -topology and is not in the $C^{1, β}$ -topology.

Reçu le : 2007-07-11
Accepté le : 2007-10-12
Publié le : 2007-11-07

DOI : 10.1016/j.crma.2007.10.026

Affiliations des auteurs :

Ezequiel R. Barbosa ¹ ; Marcos Montenegro ¹

¹ Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Caixa Postal 702, 30123-970, Belo Horizonte, MG, Brazil

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Ezequiel R. Barbosa; Marcos Montenegro. On the continuity of the second Sobolev best constant. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 345 (2007) no. 10, pp. 579-582. doi : 10.1016/j.crma.2007.10.026. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.10.026/

Bibliographie
Cité par

[1] T. Aubin Problèmes isopérimétriques et espaces de Sobolev, J. Differential Geom., Volume 11 (1976) no. 4, pp. 573-598

[2] T. Aubin; Y.Y. Li On the best Sobolev inequality, J. Math. Pures Appl., Volume 78 (1999), pp. 353-387

[3] S. Collion; E. Hebey; M. Vaugon Sharp Sobolev inequalities in the presence of a twist, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 359 (2007), pp. 2531-2537

[4] Z. Djadli; O. Druet Extremal functions for optimal Sobolev inequalities on compact manifolds, Calc. Var., Volume 12 (2001), pp. 59-84

[5] O. Druet Optimal Sobolev inequalities of arbitrary order on compact Riemannian manifolds, J. Funct. Anal., Volume 159 (1998), pp. 217-242

[6] O. Druet The best constants problem in Sobolev inequalities, Math. Ann., Volume 314 (1999), pp. 327-346

[7] O. Druet Sharp local isoperimetric inequalities involving the scalar curvature, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 130 (2002), pp. 2351-2361

[8] E. Hebey; M. Vaugon Meilleures constantes dans le théorème d'inclusion de Sobolev, Ann. Inst. H. Poincaré, Volume 13 (1996), pp. 57-93

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