Failure of Wiener's property for positive definite periodic functions

Aline Bonami; Szilárd Gy. Révész

doi:10.1016/j.crma.2007.11.013

Harmonic Analysis

Failure of Wiener's property for positive definite periodic functions
[Contre-exemples à la propriété de Wiener pour les fonctions périodiques définies-positives]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Aline Bonami ¹ ; Szilárd Gy. Révész ²

¹ Fédération Denis-Poisson, MAPMO-UMR 6628, département de mathématiques, Université d'Orléans, 45067 Orléans cedex 2, France
² Rényi Institute of Mathematics, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, P.O.B. 127, 1364 Hungary

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 1-2, pp. 39-44.

Résumé
Abstract

On dit que l'exposant p possède la propriété de Wiener si toute fonction périodique définie-positive qui est de puissance p-ième intégrable au voisinage de 0 l'est sur un intervalle de période. C'est le cas des entiers pairs, d'après un résultat classique de Wiener. Nous avons récemment obtenu des phénomènes de concentration des polynômes idempotents ou définis-positifs sur un ensemble mesurable du tore qui nous permettent de donner une version forte du fait que les exposants $p \notin 2 N$ n'ont pas la propriété de Wiener, améliorant ainsi les résultats de Wainger et Shapiro.

We say that Wiener's property holds for the exponent $p > 0$ whenever a positive definite function f, which belongs to $L^{p} (- ε, ε)$ for some $ε > 0$ , necessarily belongs to $L^{p} (T)$ , too. This holds true for $p \in 2 N$ by a classical result of Wiener. Recently various concentration results were proved for idempotents and positive definite functions on measurable sets on the torus. They enable us to prove a sharp version of the failure of Wiener's property for $p \notin 2 N$ , strengthening results of Wainger and Shapiro.

Reçu le : 2007-11-05
Accepté le : 2007-11-07
Publié le : 2008-01-01

DOI : 10.1016/j.crma.2007.11.013

Affiliations des auteurs :

Aline Bonami ¹ ; Szilárd Gy. Révész ²

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TY  - JOUR
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Aline Bonami; Szilárd Gy. Révész. Failure of Wiener's property for positive definite periodic functions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 1-2, pp. 39-44. doi : 10.1016/j.crma.2007.11.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2007.11.013/

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