Let k be a field of characteristic not 2 and be an integer; we show that the set of “algebraic” homotopy classes of rational functions of degree n with coefficients in k can be endowed with a graded monoid structure. Moreover, there is an isomorphism between this monoid and the monoid of orbits under the action of of non-degenerate symmetric bilinear forms on , endowed with the orthogonal sum.
Soient k un corps de caractéristique différente de 2 et un entier ; on munit l'ensemble des classes d'homotopie « algébrique » de fractions rationnelles pointées de degré n à coefficients dans k d'une structure de monoïde gradué par n et l'on construit un isomorphisme entre ce monoïde et celui des orbites sous l'action de de formes bilinéaires symétriques non dégénérées sur , muni de la somme orthogonale.
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Christophe Cazanave 1
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Christophe Cazanave. Classes d'homotopie de fractions rationnelles. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 3-4, pp. 129-133. doi : 10.1016/j.crma.2008.01.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.01.004/
[1] Algèbre. Chapitre IV : Polynômes et fractions rationnelles, Hermann et Cie., Paris, 1950
[2] Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants, Birkhäuser, Boston, 1994
[3] Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1973
[4] F. Morel, -Algebraic topology over a field, preprint
[5] M. Ojanguren, The Witt group and the problem of Lüroth, Dottorato di Ricerca in Matematica, ETS Editrice, Pisa, 1990
[6] On Karoubi's theorem: , Arch. Math. (Basel), Volume 43 (1984) no. 4, pp. 328-331
Cited by Sources:
⁎ La présente Note doit beaucoup à Jean Lannes, tant pour le fond que pour la forme ; je lui exprime ici ma plus sincère gratitude.
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