Régularité de l'opérateur $ \overline{\partial }$ et théorème de Siu sur la non-existence d'hypersurfaces Levi-plates dans l'espace projectif complexe $ {\mathbb{CP}}_{n}$, $ n⩾3$

Andrei Iordan; Fanny Matthey

doi:10.1016/j.crma.2008.02.024

Analyse complexe

Régularité de l'opérateur

\bar{\partial}

et théorème de Siu sur la non-existence d'hypersurfaces Levi-plates dans l'espace projectif complexe

{CP}_{n}

n ⩾ 3

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Andrei Iordan ¹ ; Fanny Matthey ²

¹ UPMC Université Paris 06, Institut de mathématiques de Jussieu, UMR 7586 du CNRS, case 247, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France
² UPMC Université Paris 06, Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 7-8, pp. 395-400.

Résumé
Abstract

On donne une variante de la preuve du théorème de Y.-T. Siu sur la non-existence d'hypersurface réelle Levi-plate de classe Sobolev $W^{s}$ , $s > \frac{9}{2}$ , dans ${CP}_{n}$ , $n ⩾ 3$ .

We give a variant of the proof of Y.-T. Siu's theorem concerning the non-existence of Levi-flat real hypersurface of Sobolev class $W^{s}$ , $s > \frac{9}{2}$ , in ${CP}_{n}$ , $n ⩾ 3$ .

Reçu le : 2007-05-30
Accepté le : 2008-02-28
Publié le : 2008-04-01

DOI : 10.1016/j.crma.2008.02.024

Affiliations des auteurs :

Andrei Iordan ¹ ; Fanny Matthey ²

@article{CRMATH_2008__346_7-8_395_0,
     author = {Andrei Iordan and Fanny Matthey},
     title = {R\'egularit\'e de l'op\'erateur $ \overline{\partial }$ et th\'eor\`eme de {Siu} sur la non-existence d'hypersurfaces {Levi-plates} dans l'espace projectif complexe $ {\mathbb{CP}}_{n}$, $ n\ensuremath{\geqslant}3$},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {395--400},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {346},
     number = {7-8},
     year = {2008},
     doi = {10.1016/j.crma.2008.02.024},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Andrei Iordan
AU  - Fanny Matthey
TI  - Régularité de l'opérateur $ \overline{\partial }$ et théorème de Siu sur la non-existence d'hypersurfaces Levi-plates dans l'espace projectif complexe $ {\mathbb{CP}}_{n}$, $ n⩾3$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
SP  - 395
EP  - 400
VL  - 346
IS  - 7-8
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2008.02.024
LA  - fr
ID  - CRMATH_2008__346_7-8_395_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Andrei Iordan
%A Fanny Matthey
%T Régularité de l'opérateur $ \overline{\partial }$ et théorème de Siu sur la non-existence d'hypersurfaces Levi-plates dans l'espace projectif complexe $ {\mathbb{CP}}_{n}$, $ n⩾3$
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2008
%P 395-400
%V 346
%N 7-8
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2008.02.024
%G fr
%F CRMATH_2008__346_7-8_395_0

Andrei Iordan; Fanny Matthey. Régularité de l'opérateur $ \overline{\partial }$ et théorème de Siu sur la non-existence d'hypersurfaces Levi-plates dans l'espace projectif complexe $ {\mathbb{CP}}_{n}$, $ n⩾3$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 7-8, pp. 395-400. doi : 10.1016/j.crma.2008.02.024. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.02.024/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Brunella, On the dynamics of codimension one holomorphic foliations with ample normal bundle, preprint, | arXiv

[2] M. Brunella, Siu's theorem on the nonexistence of Levi-flat hypersurfaces in the complex projective plane, preprint, 2005

[3] J. Cao; M.-C. Shaw; L. Wang Estimates for the $\bar{\partial}$ -Neumann problem and nonexistence of Levi-flat hypersurfaces in ${CP}_{n}$ , Math. Z., Volume 248 (2004), pp. 183-221 (Erratum Math. Z., 248, 2004, pp. 223-225)

[4] J. Cao; M.-C. Shaw The $\bar{\partial}$ -Cauchy problem and the nonexistence of Lipschitz Levi-flat hypersurfaces in ${CP}_{n}$ , $n ⩾ 3$ , Math. Z., Volume 256 (2007) no. 1, pp. 175-192

[5] D. Cerveau Minimaux des feuilletages algébriques de ${CP}_{n}$ , Ann. Inst. Fourier, Volume 43 (1993), pp. 1535-1543

[6] D. Gilbarg; N.S. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, New York, 1983

[7] G. Henkin; A. Iordan Regularity of $\bar{\partial}$ on pseudoconcave compacts and applications, Asian J. Math., Volume 4 (2000), pp. 855-884 (Erratum Asian J. Math., 7, 2003, pp. 147-148)

[8] G. Henkin; P. Polyakov Homotopy formulas for $\bar{\partial}$ -operator on ${CP}_{n}$ and the Radon–Penrose transform, Math. USSR Izv., Volume 28 (1987) no. 3, pp. 555-587

[9] L. Hörmander Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963

[10] A. Iordan On the non-existence of smooth Levi-flat hypersurfaces in ${CP}_{n}$ , Kyoto, Nara, 2001 (Advanced Studies in Pures Mathematics), Volume vol. 42 (2004), pp. 123-126

[11] D. Jerison; C.E. Kenig The inhomogeneous Dirichlet problem in Lipschitz domains, J. Funct. Anal., Volume 130 (1995), pp. 161-219

[12] A. Lins-Neto A note on projective Levi flats and minimal sets of algebraic foliations, Ann. Inst. Fourier, Volume 49 (1999), pp. 1369-1385

[13] K. Matsumoto; T. Ohsawa On the real analytic Levi flat hypersurfaces in complex tori of dimension two, Ann. Inst. Fourier, Volume 52 (2002) no. 5, pp. 1525-1532

[14] F. Matthey, Non-existence of Lipschitz–regular Levi-flat hypersurfaces in ${CP}_{2}$ , preprint, 2006

[15] T. Ohsawa Nonexistence of real analytic Levi flat hypersurfaces in $P^{2}$ , Nagoya Math. J., Volume 158 (2000), pp. 95-98

[16] Y.T. Siu Nonexistence of smooth Levi-flat hypersurfaces in complex projective spaces of dimension ⩾3, Ann. of Math., Volume 151 (2000), pp. 1217-1243

[17] Y.T. Siu Regularity for weakly pseudoconvex domains in compact Hermitian symmetric spaces with respect to invariant metrics, Ann. of Math., Volume 156 (2002), pp. 595-621

[18] A. Takeuchi Domaines pseudoconvexes infinis et la métrique riemannienne dans un espace projectif, J. Math. Soc. Japan, Volume 16 (1964), pp. 159-181

[19] J.-C. Tougeron Idéaux de fonctions différentiables, Springer-Verlag, 1972

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Estimées $L^{2}$ pour lʼopérateur $\bar{\partial}$ sur des domaines pseudoconvexes dans une variété kählerienne complète à courbure bisectionnelle holomorphe strictement positive

Séverine Biard

C. R. Math (2012)

Ensembles localement pics dans les bords faiblement pseudoconvexes de $C^{n}$

Borhen Halouani

C. R. Math (2007)