Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire

Michel Bellieud

doi:10.1016/j.crma.2008.03.030

Problèmes mathématiques de la mécanique

Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Michel Bellieud ¹

¹ UFR Science, Université de Perpignan, 52, avenue de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 13-14, pp. 807-812.

Résumé
Abstract

Soit Ω un ouvert borné de $R^{3}$ et soient $(ρ_{ε})$ , $(μ_{ε})$ , $(λ_{ε})$ des suites de fonctions périodiques sur Ω, de période ε, la fonction $ρ_{ε}$ prenant des valeurs très grandes sur un ensemble de boules de rayon $r_{ε}$ périodiquement distribuées de période ε ( $r_{ε} ≪ ε$ ). Nous étudions le comportement asymptotique ( $ε \to 0$ ) de l'équation :

{\begin{matrix} ρ_{ε} \frac{\partial^{2} u_{ε}}{\partial t^{2}} - div (σ_{ε} (u_{ε})) = ρ_{ε} f dans Ω \times (0, T) + conditions aux limites, \\ σ_{ε} (u_{ε}) = λ_{ε} tr (e (u_{ε})) I + 2 μ_{ε} e (u_{ε}), e (u_{ε}) = \frac{1}{2} ({\nabla u}_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \end{matrix}

et nous trouvons une loi effective non locale déduite d'un système couplé d'équations hyperboliques.

Let Ω be a bounded open set of $R^{3}$ and $(ρ_{ε})$ , $(μ_{ε})$ , $(λ_{ε})$ be sequences of ε-periodic functions on Ω, the function $ρ_{ε}$ taking very large values on a set of ε-periodically distributed balls of radius $r_{ε}$ ( $r_{ε} ≪ ε$ ). We study the asymptotic behaviour as $ε \to 0$ of the equation:

{\begin{matrix} ρ_{ε} \frac{\partial^{2} u_{ε}}{\partial t^{2}} - div (σ_{ε} (u_{ε})) = ρ_{ε} f in Ω \times (0, T) + boundary conditions, \\ σ_{ε} (u_{ε}) = λ_{ε} tr (e (u_{ε})) I + 2 μ_{ε} e (u_{ε}), e (u_{ε}) = \frac{1}{2} ({\nabla u}_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \end{matrix}

and finally we find a non-local effective equation deduced from a homogenized system of hyperbolic equations.

Reçu le : 2007-09-20
Accepté le : 2008-03-05
Publié le : 2008-06-24

DOI : 10.1016/j.crma.2008.03.030

Affiliations des auteurs :

Michel Bellieud ¹

¹ UFR Science, Université de Perpignan, 52, avenue de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France

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Michel Bellieud. Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 13-14, pp. 807-812. doi : 10.1016/j.crma.2008.03.030. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.03.030/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Bellieud Homogenisation of evolution problems for a composite medium with very small and heavy inclusions, Memory effects, ESAIM: COCV, Volume 11 (2005), pp. 266-284

[2] M. Bellieud, Vibrations of an elastic composite with very heavy inclusions, Memory effects, Preprint

[3] D. Cioranescu; F. Murat Un terme étrange venu d'ailleurs, I, Nonlinear Partial Differential Equations and Their Applications, Collège de France Seminar, Vol. II, Res. Notes in Math., vol. 60, Pitman, Boston, 1982, pp. 98-138

[4] A.I. Lur'e Three-Dimensional Problems of the Theory of Elasticity, Interscience Publishers, New York, 1964

Cité par Sources :

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