Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire

Michel Bellieud

doi:10.1016/j.crma.2008.03.030

Problèmes mathématiques de la mécanique

Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Michel Bellieud ¹

¹ UFR Science, Université de Perpignan, 52, avenue de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 13-14, pp. 807-812.

Résumé (VO)
Abstract

Soit Ω un ouvert borné de $R^{3}$ et soient $(ρ_{ε})$ , $(μ_{ε})$ , $(λ_{ε})$ des suites de fonctions périodiques sur Ω, de période ε, la fonction $ρ_{ε}$ prenant des valeurs très grandes sur un ensemble de boules de rayon $r_{ε}$ périodiquement distribuées de période ε ( $r_{ε} ≪ ε$ ). Nous étudions le comportement asymptotique ( $ε \to 0$ ) de l'équation :

{\begin{matrix} ρ_{ε} \frac{\partial^{2} u_{ε}}{\partial t^{2}} - div (σ_{ε} (u_{ε})) = ρ_{ε} f dans Ω \times (0, T) + conditions aux limites, \\ σ_{ε} (u_{ε}) = λ_{ε} tr (e (u_{ε})) I + 2 μ_{ε} e (u_{ε}), e (u_{ε}) = \frac{1}{2} ({\nabla u}_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \end{matrix}

et nous trouvons une loi effective non locale déduite d'un système couplé d'équations hyperboliques.

Let Ω be a bounded open set of $R^{3}$ and $(ρ_{ε})$ , $(μ_{ε})$ , $(λ_{ε})$ be sequences of ε-periodic functions on Ω, the function $ρ_{ε}$ taking very large values on a set of ε-periodically distributed balls of radius $r_{ε}$ ( $r_{ε} ≪ ε$ ). We study the asymptotic behaviour as $ε \to 0$ of the equation:

{\begin{matrix} ρ_{ε} \frac{\partial^{2} u_{ε}}{\partial t^{2}} - div (σ_{ε} (u_{ε})) = ρ_{ε} f in Ω \times (0, T) + boundary conditions, \\ σ_{ε} (u_{ε}) = λ_{ε} tr (e (u_{ε})) I + 2 μ_{ε} e (u_{ε}), e (u_{ε}) = \frac{1}{2} ({\nabla u}_{ε} + \nabla^{T} u_{ε}), \end{matrix}

and finally we find a non-local effective equation deduced from a homogenized system of hyperbolic equations.

Reçu le : 2007-09-20
Accepté le : 2008-03-05
Publié le : 2008-06-24

DOI : 10.1016/j.crma.2008.03.030

Affiliations des auteurs :

Michel Bellieud ¹

¹ UFR Science, Université de Perpignan, 52, avenue de Villeneuve, 66860 Perpignan cedex, France

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Michel Bellieud. Vibrations d'un composite élastique comportant des inclusions granulaires très lourdes : effets de mémoire. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 13-14, pp. 807-812. doi : 10.1016/j.crma.2008.03.030. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.03.030/

Bibliographie
Cité par

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Michel Bellieud Vibrations of an elastic composite with very heavy inclusions: memory effects, Comptes Rendus. Mathématique. Académie des Sciences, Paris, Volume 346 (2008) no. 13-14, pp. 807-812 | DOI:10.1016/j.crma.2008.03.030 | Zbl:1165.35408

Cité par 4 documents. Sources : Crossref, zbMATH

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