Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo <i>p</i>, <i>p</i> premier

Bernard Perron

doi:10.1016/j.crma.2008.04.015

Topologie différentielle

Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier

Présenté par : Étienne Ghys

Bernard Perron ¹

¹ Université de Bourgogne, institut de mathématiques de Bourgogne, U.M.R. du C.N.R.S., U.F.R. sciences et techniques, 9, avenue Alain-Savary, B.P. 47 870, 21078 Dijon cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 667-670.

Résumé
Abstract

Soit $S (g, 1)$ une surface connexe, compacte, orientée, de genre g, avec une composante de bord et $Mod (g, 1)$ son groupe modulaire. Soit p un entier, ou bien égal à 0, ou bien premier ⩾2. On construit une p-filtration centrale de $Mod (g, 1)$ , notée ${M (k, p) : k \in N^{*} = N - {0}}$ , généralisant la filtration de Johnson (qui correspond à $p = 0$ ) telle que $M (1, p) = Mod (g, 1)$ , $M (k, p) / M (k + 1, p)$ $(k ⩾ 2)$ est un $Z / p Z$ -espace vectoriel de dimension finie et $M (2, p)$ est le groupe de Torelli modulo p (e.g. le sous-groupe de $Mod (g, 1)$ des homéomorphismes induisant l'identité sur $H_{1} (S (g, 1); Z / p Z))$ . On annonce les résultats suivants : le groupe de Torelli $(\mod p)$ est engendré par le groupe de Torelli usuel et les puissances p-ième des twists de Dehn. On détermine ensuite l'abélianisé du groupe de Torelli modp (à 2-torsion finie pres). Toute sphère d'homologie rationnelle Σ de dimension trois s'obtient en recollant deux corps d'anses par un élément du groupe de Torelli $(\mod p)$ , où p est un entier premier ⩾3 divisant $(n - 1)$ , n étant le cardinal de $H_{1} (Σ; Z)$ . On propose enfin un invariant conjectural de ces sphères d'homologie rationnelle.

Let $S (g, 1)$ be a connected, compact, oriented surface of genus g, with one boundary component and $Mod (g, 1)$ its mapping class group. Let p be an integer, either equal to 0, or a prime ⩾2. We construct a central p-filtration of $Mod (g, 1)$ , denoted ${M (k, p) : k \in N^{*} = N - {0}}$ , generalizing the Johnson filtration (which corresponds to $p = 0$ ) such that $M (1, g) = Mod (g, 1)$ , $M (k, p) M (k + 1, p)$ $(k ⩾ 2)$ is a finite dimensional $Z / p Z$ -vector space and $M (2, p)$ is the Torelli group $(\mod p)$ (e.g. the subgroup of $Mod (g, 1)$ of homeomorphisms which induce identity on $H_{1} (S (g, 1)$ ; $Z / p Z$ )). We announce the following results: the Torelli group $(\mod p)$ is generated by the usual Torelli group and the p-th powers of all Dehn twists. We compute the abelianization of the Torelli group $(\mod p)$ , up to finite 2-torsion. Any $Q$ -homology sphere $Σ^{3}$ is obtained by gluing two handlebodies by an element of the Torelli group $(\mod p)$ , for any prime $p ⩾ 3$ dividing $(n - 1)$ , where n is the cardinal of $H_{1} (Σ^{3}; Z)$ . Finally we propose a conjectural invariant for these $Q$ -homology spheres.

Reçu le : 2008-03-03
Accepté le : 2008-04-22
Publié le : 2008-05-21

DOI : 10.1016/j.crma.2008.04.015

Affiliations des auteurs :

Bernard Perron ¹

¹ Université de Bourgogne, institut de mathématiques de Bourgogne, U.M.R. du C.N.R.S., U.F.R. sciences et techniques, 9, avenue Alain-Savary, B.P. 47 870, 21078 Dijon cedex, France

@article{CRMATH_2008__346_11-12_667_0,
     author = {Bernard Perron},
     title = {Filtration de {Johnson} et groupe de {Torelli} modulo \protect\emph{p}, \protect\emph{p} premier},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {667--670},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {346},
     number = {11-12},
     year = {2008},
     doi = {10.1016/j.crma.2008.04.015},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Bernard Perron
TI  - Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
SP  - 667
EP  - 670
VL  - 346
IS  - 11-12
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2008.04.015
LA  - fr
ID  - CRMATH_2008__346_11-12_667_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Bernard Perron
%T Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2008
%P 667-670
%V 346
%N 11-12
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2008.04.015
%G fr
%F CRMATH_2008__346_11-12_667_0

Bernard Perron. Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 667-670. doi : 10.1016/j.crma.2008.04.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.04.015/

Bibliographie
Cité par

[1] H. Bass; J. Milnor; J.-P. Serre Solution of the congruence subgroup problem for ${SL}_{n} (n ⩾ 3)$ and ${Sp}_{2 n} (n ⩾ 2)$ , Inst. Hautes Études Sc. Publ. Math., Volume 33 (1967), pp. 59-137

[2] A. Casson, Lectures at MSRI, 1985

[3] R. Fox Free differential calculus I, Ann. of Math., Volume 57 (1953), pp. 547-560

[4] L. Guillou; A. Marin Notes sur l'invariant de Casson des sphères d'homologie de dimension 3, Enseign. Math., Volume 38 (1992), pp. 233-290

[5] D. Johnson An abelian quotient of the mapping class group $I_{g}$ , Math. Ann., Volume 249 (1980), pp. 225-242

[6] D. Johnson A survey of the Torelli group, Contemp. Math., Volume 20 (1983), pp. 165-179

[7] S. Morita Casson's invariant for homology 3-spheres and characteristic classes of surface bundles I, Topology, Volume 28 (1989), pp. 305-323

[8] S. Morita Abelian quotients of subgroups of the mapping class group of surfaces, Duke Math. J., Volume 70 (1993), pp. 699-726

[9] B. Perron Homomorphic extensions of Johnson homomorphisms via Fox calculus, Ann. Inst. Fourier, Volume 54 (2004), pp. 1073-1106

[10] B. Perron Mapping class group and the Casson invariant, Ann. Inst. Fourier, Volume 54 (2004), pp. 1107-1138

[11] B. Perron, Johnson filtration and Torelli group $(\mod p)$ , Notes manuscriptes, Université de Bourgogne, Février 2008

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Une nouvelle définition de l'invariant de Casson

Bernard Perron

C. R. Math (2002)

The Casson invariant and the word metric on the Torelli group

Nathan Broaddus; Benson Farb; Andrew Putman

C. R. Math (2007)