[Johnson filtration and Torelli group, modulo p, p a prime]
Let be a connected, compact, oriented surface of genus g, with one boundary component and its mapping class group. Let p be an integer, either equal to 0, or a prime ⩾2. We construct a central p-filtration of , denoted , generalizing the Johnson filtration (which corresponds to ) such that , is a finite dimensional -vector space and is the Torelli group (e.g. the subgroup of of homeomorphisms which induce identity on ; )). We announce the following results: the Torelli group is generated by the usual Torelli group and the p-th powers of all Dehn twists. We compute the abelianization of the Torelli group , up to finite 2-torsion. Any -homology sphere is obtained by gluing two handlebodies by an element of the Torelli group , for any prime dividing , where n is the cardinal of . Finally we propose a conjectural invariant for these -homology spheres.
Soit une surface connexe, compacte, orientée, de genre g, avec une composante de bord et son groupe modulaire. Soit p un entier, ou bien égal à 0, ou bien premier ⩾2. On construit une p-filtration centrale de , notée , généralisant la filtration de Johnson (qui correspond à ) telle que , est un -espace vectoriel de dimension finie et est le groupe de Torelli modulo p (e.g. le sous-groupe de des homéomorphismes induisant l'identité sur . On annonce les résultats suivants : le groupe de Torelli est engendré par le groupe de Torelli usuel et les puissances p-ième des twists de Dehn. On détermine ensuite l'abélianisé du groupe de Torelli modp (à 2-torsion finie pres). Toute sphère d'homologie rationnelle Σ de dimension trois s'obtient en recollant deux corps d'anses par un élément du groupe de Torelli , où p est un entier premier ⩾3 divisant , n étant le cardinal de . On propose enfin un invariant conjectural de ces sphères d'homologie rationnelle.
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Bernard Perron 1
@article{CRMATH_2008__346_11-12_667_0, author = {Bernard Perron}, title = {Filtration de {Johnson} et groupe de {Torelli} modulo \protect\emph{p}, \protect\emph{p} premier}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {667--670}, publisher = {Elsevier}, volume = {346}, number = {11-12}, year = {2008}, doi = {10.1016/j.crma.2008.04.015}, language = {fr}, }
Bernard Perron. Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 667-670. doi : 10.1016/j.crma.2008.04.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.04.015/
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