Comptes Rendus
no. 17-18
Dynamical Systems
About a low complexity class of cellular automata
[Sur une classe d'automate cellulaire de faible complexitée]

Présenté par : Étienne Ghys

Pierre Tisseur1
1 Centro de Matemática, Computação e Cognição, Universidade Federal do ABC, Santo André, S.P, Brasil
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 995-998.

Nous étendons à toute mesure de probabilité, la notion d'automate cellulaire μ-equicontinus introduit en premier lieu pour des mesures de Bernoulli par Gilman et nous montrons que l'entropie de l'automate est nulle si μ est invariante mais aussi que la suite des mesures images d'une mesure ergodique pour le décalage converge en moyenne de Cesàro vers une mesure invariante notée μc. De plus, cet automate cellulaire a encore la particularité d'être μc-equicontinu et l'ensemble des points périodiques est dense dans le support topologique de la mesure μc. Cette dernière propriété est aussi vraie pour cette classe d'automate si la mesure μ est invariante et shift ergodique.

Extending to all probability measures the notion of μ-equicontinuous cellular automata introduced for Bernoulli measures by Gilman, we show that the entropy is null if μ is an invariant measure and that the sequence of image measures of a shift ergodic measure by iterations of such automata converges in Cesàro mean to an invariant measure μc. Moreover, this cellular automaton is still μc-equicontinuous and the set of periodic points is dense in the topological support of the measure μc. The last property is also true when μ is invariant and shift ergodic.

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DOI : 10.1016/j.crma.2008.07.018
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[1] F. Blanchard; P. Tisseur Some properties of cellular automata with equicontinuity points, Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques, Volume 36 (2000) no. 5, pp. 569-582

[2] R.H. Gilman Classes of linear automata, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Volume 7 (1987), pp. 105-118

[3] R.H. Gilman Periodic behaviour of linear automata, Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1342, Springer, New York, 1988, pp. 216-219

[4] P. Tisseur Cellular automata and Lyapunov exponents, Nonlinearity, Volume 13 (2000), pp. 1547-1560

[5] P. Tisseur, Density of periodic points, invariant measures and almost equicontinuous points of cellular automata, Preprint

[6] S. Wolfram Theory and Applications of Cellular Automata, World Scientific, 1986

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