About a low complexity class of cellular automata

Pierre Tisseur

doi:10.1016/j.crma.2008.07.018

Dynamical Systems

About a low complexity class of cellular automata
[Sur une classe d'automate cellulaire de faible complexitée]

Présenté par : Étienne Ghys

Pierre Tisseur ¹

¹ Centro de Matemática, Computação e Cognição, Universidade Federal do ABC, Santo André, S.P, Brasil

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 995-998.

Résumé
Abstract

Nous étendons à toute mesure de probabilité, la notion d'automate cellulaire μ-equicontinus introduit en premier lieu pour des mesures de Bernoulli par Gilman et nous montrons que l'entropie de l'automate est nulle si μ est invariante mais aussi que la suite des mesures images d'une mesure ergodique pour le décalage converge en moyenne de Cesàro vers une mesure invariante notée $μ_{c}$ . De plus, cet automate cellulaire a encore la particularité d'être $μ_{c}$ -equicontinu et l'ensemble des points périodiques est dense dans le support topologique de la mesure $μ_{c}$ . Cette dernière propriété est aussi vraie pour cette classe d'automate si la mesure μ est invariante et shift ergodique.

Extending to all probability measures the notion of μ-equicontinuous cellular automata introduced for Bernoulli measures by Gilman, we show that the entropy is null if μ is an invariant measure and that the sequence of image measures of a shift ergodic measure by iterations of such automata converges in Cesàro mean to an invariant measure $μ_{c}$ . Moreover, this cellular automaton is still $μ_{c}$ -equicontinuous and the set of periodic points is dense in the topological support of the measure $μ_{c}$ . The last property is also true when μ is invariant and shift ergodic.

Reçu le : 2007-11-21
Accepté le : 2008-07-18
Publié le : 2008-08-22

DOI : 10.1016/j.crma.2008.07.018

Affiliations des auteurs :

Pierre Tisseur ¹

¹ Centro de Matemática, Computação e Cognição, Universidade Federal do ABC, Santo André, S.P, Brasil

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Pierre Tisseur. About a low complexity class of cellular automata. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 995-998. doi : 10.1016/j.crma.2008.07.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.07.018/

Bibliographie
Cité par

[1] F. Blanchard; P. Tisseur Some properties of cellular automata with equicontinuity points, Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques, Volume 36 (2000) no. 5, pp. 569-582

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[3] R.H. Gilman Periodic behaviour of linear automata, Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1342, Springer, New York, 1988, pp. 216-219

[4] P. Tisseur Cellular automata and Lyapunov exponents, Nonlinearity, Volume 13 (2000), pp. 1547-1560

[5] P. Tisseur, Density of periodic points, invariant measures and almost equicontinuous points of cellular automata, Preprint

[6] S. Wolfram Theory and Applications of Cellular Automata, World Scientific, 1986

Cité par Sources :

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