About a low complexity class of cellular automata

Pierre Tisseur

doi:10.1016/j.crma.2008.07.018

Dynamical Systems

About a low complexity class of cellular automata

Presented by: Étienne Ghys

Pierre Tisseur ¹

¹ Centro de Matemática, Computação e Cognição, Universidade Federal do ABC, Santo André, S.P, Brasil

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 995-998.

Abstract
Résumé

Extending to all probability measures the notion of μ-equicontinuous cellular automata introduced for Bernoulli measures by Gilman, we show that the entropy is null if μ is an invariant measure and that the sequence of image measures of a shift ergodic measure by iterations of such automata converges in Cesàro mean to an invariant measure $μ_{c}$ . Moreover, this cellular automaton is still $μ_{c}$ -equicontinuous and the set of periodic points is dense in the topological support of the measure $μ_{c}$ . The last property is also true when μ is invariant and shift ergodic.

Nous étendons à toute mesure de probabilité, la notion d'automate cellulaire μ-equicontinus introduit en premier lieu pour des mesures de Bernoulli par Gilman et nous montrons que l'entropie de l'automate est nulle si μ est invariante mais aussi que la suite des mesures images d'une mesure ergodique pour le décalage converge en moyenne de Cesàro vers une mesure invariante notée $μ_{c}$ . De plus, cet automate cellulaire a encore la particularité d'être $μ_{c}$ -equicontinu et l'ensemble des points périodiques est dense dans le support topologique de la mesure $μ_{c}$ . Cette dernière propriété est aussi vraie pour cette classe d'automate si la mesure μ est invariante et shift ergodique.

Received: 2007-11-21
Accepted: 2008-07-18
Published online: 2008-08-22

DOI: 10.1016/j.crma.2008.07.018

Author's affiliations:

Pierre Tisseur ¹

¹ Centro de Matemática, Computação e Cognição, Universidade Federal do ABC, Santo André, S.P, Brasil

@article{CRMATH_2008__346_17-18_995_0,
     author = {Pierre Tisseur},
     title = {About a low complexity class of cellular automata},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {995--998},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {346},
     number = {17-18},
     year = {2008},
     doi = {10.1016/j.crma.2008.07.018},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Pierre Tisseur
TI  - About a low complexity class of cellular automata
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2008
SP  - 995
EP  - 998
VL  - 346
IS  - 17-18
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2008.07.018
LA  - en
ID  - CRMATH_2008__346_17-18_995_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Pierre Tisseur
%T About a low complexity class of cellular automata
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2008
%P 995-998
%V 346
%N 17-18
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2008.07.018
%G en
%F CRMATH_2008__346_17-18_995_0

Pierre Tisseur. About a low complexity class of cellular automata. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 17-18, pp. 995-998. doi : 10.1016/j.crma.2008.07.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.07.018/

References
Cited by

[1] F. Blanchard; P. Tisseur Some properties of cellular automata with equicontinuity points, Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques, Volume 36 (2000) no. 5, pp. 569-582

[2] R.H. Gilman Classes of linear automata, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Volume 7 (1987), pp. 105-118

[3] R.H. Gilman Periodic behaviour of linear automata, Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1342, Springer, New York, 1988, pp. 216-219

[4] P. Tisseur Cellular automata and Lyapunov exponents, Nonlinearity, Volume 13 (2000), pp. 1547-1560

[5] P. Tisseur, Density of periodic points, invariant measures and almost equicontinuous points of cellular automata, Preprint

[6] S. Wolfram Theory and Applications of Cellular Automata, World Scientific, 1986

Cited by Sources:

Comments - Policy