Comptes Rendus
no. 3-4
Équations différentielles
Forme normale de perturbation de champs de vecteurs quasi-homogènes

Présenté par : Bernard Malgrange

Eric Lombardi1 ; Laurent Stolovitch2
1 Institut de mathématiques de Toulouse, Universite Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France
2 CNRS, Laboratoire J.-A. Dieudonné U.M.R. 6621, Université de Nice-Sophia Antipolis, parc Valrose, 06108 Nice cedex 02, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 3-4, pp. 143-146.

Dans cette Note, nous étudions des germes de champs de vecteurs holomorphes qui sont des perturbations convenables de champs de vecteurs quasi-homogènes au voisinage de l'origine de Cn, point fixe des champs considerés. En particulier, nous définissions une condition « diophantienne » sur le champ quasihomogène initial S qui assure que si une telle perturbation de S est formellement conjuguée à S alors elle l'est holomorphiquement.

In this Note, we study germs of holomorphic vector fields which are suitable perturbations of a quasihomogeneous vector field in a neighborhood of the origin of Cn, fixed point of the vector fields. In particular, we define a “diophantine condition” on the quasihomogeneous initial part S which ensures that if such a perturbation of S is formally conjugate to S then it is also holomorphically conjugate to it.

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DOI : 10.1016/j.crma.2008.11.013
Eric Lombardi 1 ; Laurent Stolovitch 2

1 Institut de mathématiques de Toulouse, Universite Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 9, France
2 CNRS, Laboratoire J.-A. Dieudonné U.M.R. 6621, Université de Nice-Sophia Antipolis, parc Valrose, 06108 Nice cedex 02, France 
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Eric Lombardi; Laurent Stolovitch. Forme normale de perturbation de champs de vecteurs quasi-homogènes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 3-4, pp. 143-146. doi : 10.1016/j.crma.2008.11.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.11.013/

[1] V.I. Arnold Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, Mir, 1980

[2] G. Iooss; E. Lombardi Polynomial normal forms with exponentially small remainder for analytic vector fields, J. Differential Equations, Volume 212 (2005) no. 1, pp. 1-61

[3] H. Kokubu; H. Oka; D. Wang Linear grading function and further reduction of normal forms, J. Differential Equations, Volume 132 (1996) no. 2, pp. 293-318

[4] H.S. Shapiro An algebraic theorem of E. Fischer, and the holomorphic Goursat problem, Bull. London Math. Soc., Volume 21 (1989) no. 6, pp. 513-537

[5] L. Stolovitch Sur un théorème de Dulac, Ann. Inst. Fourier, Volume 44 (1994) no. 5, pp. 1397-1433

[6] G.R. Belitskii Invariant normal forms of formal series, Funct. Anal. Appl., Volume 13 (1979) no. 1, pp. 46-47

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