Variance limite d'une marche aléatoire réversible en milieu aléatoire sur $ \mathbb{Z}$

Jérôme Depauw; Jean-Marc Derrien

doi:10.1016/j.crma.2009.01.030

Probabilités

Variance limite d'une marche aléatoire réversible en milieu aléatoire sur

Z

Présenté par : Marc Yor

Jérôme Depauw ¹ ; Jean-Marc Derrien ²

¹ Laboratoire de mathématique et physique théorique, UMR CNRS 6083, Université Rabelais, parc de Grandmont, 37200 Tours, France
² Laboratoire de mathématiques de Brest, UMR CNRS 6205, Université de Bretagne Occidentale, 6, avenue Victor-Le-Gorgeu, CS 93837, 29238 Brest cedex 3, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 7-8, pp. 401-406.

Résumé
Abstract

Le théorème limite central pour la marche aléatoire sur un réseau aléatoire stationnaire de conductances a été étudié par de nombreux auteurs. En dimension 1, lorsque conductances et résistances sont intégrables, on peut montrer, pour presque tout environnement, la convergence vers une loi gaussienne non dégénérée en suivant une méthode de martingales introduite par S. Kozlov (1985). Lorsque les résistances ne sont pas intégrables, Y. Derriennic et M. Lin ont établi la convergence, cette fois avec variance nulle, et en probabilité relativement aux environnements (communication personnelle). On montre ici, par une méthode particulièrement simple, que cette dernière convergence a lieu ponctuellement. Le problème analogue pour la diffusion continue est ensuite considéré. Enfin notre méthode nous permet de démontrer une inégalité sur la moyenne quadratique d'une diffusion.

The Central Limit Theorem for the random walk on a stationary random network of conductances has been studied by several authors. In one dimension, when conductances and resistances are integrable, and following a method of martingale introduced by S. Kozlov (1985), we can prove the Quenched Central Limit Theorem. In that case the variance of the limit law is not null. When resistances are not integrable, the Annealed Central Limit Theorem with null variance was established by Y. Derriennic and M. Lin (personal communication). The quenched version of this last theorem is proved here, by using a very simple method. The similar problem for the continuous diffusion is then considered. Finally our method allows us to prove an inequality for the quadratic mean of a diffusion.

Reçu le : 2008-09-17
Accepté le : 2009-01-27
Publié le : 2009-03-10

DOI : 10.1016/j.crma.2009.01.030

Affiliations des auteurs :

Jérôme Depauw ¹ ; Jean-Marc Derrien ²

¹ Laboratoire de mathématique et physique théorique, UMR CNRS 6083, Université Rabelais, parc de Grandmont, 37200 Tours, France
² Laboratoire de mathématiques de Brest, UMR CNRS 6205, Université de Bretagne Occidentale, 6, avenue Victor-Le-Gorgeu, CS 93837, 29238 Brest cedex 3, France

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Jérôme Depauw; Jean-Marc Derrien. Variance limite d'une marche aléatoire réversible en milieu aléatoire sur $ \mathbb{Z}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 7-8, pp. 401-406. doi : 10.1016/j.crma.2009.01.030. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.01.030/

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