A generalization of the classical Cesàro–Volterra path integral formula

Philippe G. Ciarlet; Liliana Gratie; Cristinel Mardare

doi:10.1016/j.crma.2009.03.007

Mathematical Problems in Mechanics

A generalization of the classical Cesàro–Volterra path integral formula
[Une généralisation de la formule classique de l'intégrale curviligne de Cesàro–Volterra]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Philippe G. Ciarlet ¹ ; Liliana Gratie ¹ ; Cristinel Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83, Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005, Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 9-10, pp. 577-582.

Résumé
Abstract

Si un champ e de matrices symétriques d'ordre trois vérifie les conditions de compatibilité de Saint Venant dans un domaine simplement connexe Ω de $R^{3}$ , alors il existe un champ u de déplacements de Ω tel que $e = \frac{1}{2} ({\nabla u}^{T} + \nabla u)$ dans Ω. Si le champ e est suffisamment régulier, le déplacement $u (x)$ peut être calculé explicitement en tout point $x \in Ω$ comme une fonction de e et de $CURL e$ , au moyen d'une intégrale curviligne de Cesàro–Volterra le long d'un chemin contenu dans Ω et d'extrémité x.

On suppose ici que les composantes du champ e sont seulement dans $L^{2} (Ω)$ , auquel cas la formule intégrale de Cesàro–Volterra n'a pas de sens. On établit alors l'existence d'une « formule de Cesàro–Volterra avec peu de régularité », qui donne à nouveau dans ce cas une solution explicite u de l'équation $e = \frac{1}{2} ({\nabla u}^{T} + \nabla u)$ .

If a symmetric matrix field e of order three satisfies the Saint Venant compatibility conditions in a simply-connected domain Ω in $R^{3}$ , there then exists a displacement field u of Ω such that $e = \frac{1}{2} ({\nabla u}^{T} + \nabla u)$ in Ω. If the field e is sufficiently smooth, the displacement $u (x)$ at any point $x \in Ω$ can be explicitly computed as a function of e and $CURL e$ by means of a Cesàro–Volterra path integral formula inside Ω with endpoint x.

We assume here that the components of the field e are only in $L^{2} (Ω)$ , in which case the classical path integral formula of Cesàro and Volterra becomes meaningless. We then establish the existence of a “Cesàro–Volterra formula with little regularity”, which again provides an explicit solution u to the equation $e = \frac{1}{2} ({\nabla u}^{T} + \nabla u)$ in this case.

Reçu le : 2009-02-24
Publié le : 2009-04-03

DOI : 10.1016/j.crma.2009.03.007

Affiliations des auteurs :

Philippe G. Ciarlet ¹ ; Liliana Gratie ¹ ; Cristinel Mardare ²

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83, Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005, Paris, France

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Philippe G. Ciarlet; Liliana Gratie; Cristinel Mardare. A generalization of the classical Cesàro–Volterra path integral formula. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 9-10, pp. 577-582. doi : 10.1016/j.crma.2009.03.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.03.007/

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