Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon

Rachid Zarouf

doi:10.1016/j.crma.2009.04.012

Analyse fonctionnelle

Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon

Présenté par : Gilles Pisier

Rachid Zarouf ¹

¹ Équipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 939-942.

Résumé
Abstract

E.B. Davies et B. Simon ont montré (entre autres résultats) la chose suivante : soit T, une matrice $n \times n$ telle que son spectre $σ (T)$ soit inclus dans le disque $D = {z \in C : | z | < 1}$ et soit $C = \sup_{n ⩾ 0} ‖ T^{n} ‖_{E \to E}$ (E étant $C^{n}$ muni d'une certaine norme $| . |$ ). Alors $‖ R (1, T) ‖_{E \to E} ⩽ C (3 n / dist (1, σ {(T)))}^{3 / 2}$ où $R (λ, T)$ désigne la résolvante de T prise au point λ. Nous améliorons ici cette dernière inégalité à travers le résultat suivant : sous les mêmes conditions (portant sur la matrice T), pour tout $λ \notin σ (A)$ tel que $| λ | ⩾ 1$ , on a $‖ R (λ, T) ‖ ⩽ C (5 π / 3 + 2 \sqrt{2}) n^{3 / 2} / dist (λ, σ)$ .

E.B. Davies and B. Simon have shown (among other things) the following result: if T is an $n \times n$ matrix such that its spectrum $σ (T)$ is included in the open unit disc $D = {z \in C : | z | < 1}$ and if $C = \sup_{k ⩾ 0} ‖ T^{k} ‖_{E \to E}$ , where E stands for $C^{n}$ endowed with a certain norm $| . |$ , then $‖ R (1, T) ‖_{E \to E} ⩽ C (3 n / dist (1, σ {(T)))}^{3 / 2}$ where $R (λ, T)$ stands for the resolvent of T at point λ. Here, we improve this inequality showing that under the same hypotheses (on the matrix T), $‖ R (λ, T) ‖ ⩽ C (5 π / 3 + 2 \sqrt{2}) n^{3 / 2} / dist (λ, σ)$ , for all $λ \notin σ (T)$ such that $| λ | ⩾ 1$ .

Reçu le : 2009-04-04
Accepté le : 2009-04-09
Publié le : 2009-05-23

DOI : 10.1016/j.crma.2009.04.012

Affiliations des auteurs :

Rachid Zarouf ¹

¹ Équipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

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Rachid Zarouf. Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 939-942. doi : 10.1016/j.crma.2009.04.012. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.04.012/

Bibliographie
Cité par

[1] E.B. Davies; B. Simon Eigenvalue estimates for non-normal matrices and the zeros of random orthogonal polynomials on the unit circle, J. Approx. Theory, Volume 141 (2006) no. 2, pp. 189-213

[2] Y. Domar On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function, Ark. Mat., Volume 3 (1958), pp. 429-440

[3] N. Nikolski Condition numbers of large matrices and analytic capacities, St. Petersburg Math. J., Volume 17 (2006), pp. 641-682

[4] N. Nikolski Operators, Function, and Systems: An Easy Reading, vol. 1, AMS, Providence, 2002

[5] N. Nikolski Treatise on the Shift Operator, Springer-Verlag, Berlin, 1986

[6] N. Nikolski; S.A. Khrushchev Function model and some problems in the spectral theory of functions, Trudy Mat. Inst. Steklov., Volume 176 (1987), pp. 97-210 (in Russian). English transl.: Proc. Steklov Inst. Math. 3 (1988) 101–214

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