Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon

Rachid Zarouf

doi:10.1016/j.crma.2009.04.012

Analyse fonctionnelle

Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon
[Sharpening a result by E.B. Davies and B. Simon]

Gilles Pisier

Rachid Zarouf ¹

¹Équipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 939-942

Résumé (Original language)
Abstract

E.B. Davies et B. Simon ont montré (entre autres résultats) la chose suivante : soit T, une matrice $n \times n$ telle que son spectre $σ (T)$ soit inclus dans le disque $D = {z \in C : | z | < 1}$ et soit $C = \sup_{n ⩾ 0} ‖ T^{n} ‖_{E \to E}$ (E étant $C^{n}$ muni d'une certaine norme $| . |$ ). Alors $‖ R (1, T) ‖_{E \to E} ⩽ C (3 n / dist (1, σ {(T)))}^{3 / 2}$ où $R (λ, T)$ désigne la résolvante de T prise au point λ. Nous améliorons ici cette dernière inégalité à travers le résultat suivant : sous les mêmes conditions (portant sur la matrice T), pour tout $λ \notin σ (A)$ tel que $| λ | ⩾ 1$ , on a $‖ R (λ, T) ‖ ⩽ C (5 π / 3 + 2 \sqrt{2}) n^{3 / 2} / dist (λ, σ)$ .

E.B. Davies and B. Simon have shown (among other things) the following result: if T is an $n \times n$ matrix such that its spectrum $σ (T)$ is included in the open unit disc $D = {z \in C : | z | < 1}$ and if $C = \sup_{k ⩾ 0} ‖ T^{k} ‖_{E \to E}$ , where E stands for $C^{n}$ endowed with a certain norm $| . |$ , then $‖ R (1, T) ‖_{E \to E} ⩽ C (3 n / dist (1, σ {(T)))}^{3 / 2}$ where $R (λ, T)$ stands for the resolvent of T at point λ. Here, we improve this inequality showing that under the same hypotheses (on the matrix T), $‖ R (λ, T) ‖ ⩽ C (5 π / 3 + 2 \sqrt{2}) n^{3 / 2} / dist (λ, σ)$ , for all $λ \notin σ (T)$ such that $| λ | ⩾ 1$ .

Article information
Cite this article

Received: 2009-04-04
Accepted: 2009-04-09
Published online: 2009-05-23

DOI: 10.1016/j.crma.2009.04.012

Author's affiliations:

Rachid Zarouf ¹

¹ Équipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Rachid Zarouf. Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 939-942. doi: 10.1016/j.crma.2009.04.012

@article{CRMATH_2009__347_15-16_939_0,
     author = {Rachid Zarouf},
     title = {Une am\'elioration d'un r\'esultat de {E.B.} {Davies} et {B.} {Simon}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {939--942},
     year = {2009},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {347},
     number = {15-16},
     doi = {10.1016/j.crma.2009.04.012},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Rachid Zarouf
TI  - Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2009
SP  - 939
EP  - 942
VL  - 347
IS  - 15-16
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2009.04.012
LA  - fr
ID  - CRMATH_2009__347_15-16_939_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Rachid Zarouf
%T Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2009
%P 939-942
%V 347
%N 15-16
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2009.04.012
%G fr
%F CRMATH_2009__347_15-16_939_0

References
Cited by

[1] E.B. Davies; B. Simon Eigenvalue estimates for non-normal matrices and the zeros of random orthogonal polynomials on the unit circle, J. Approx. Theory, Volume 141 (2006) no. 2, pp. 189-213

[2] Y. Domar On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function, Ark. Mat., Volume 3 (1958), pp. 429-440

[3] N. Nikolski Condition numbers of large matrices and analytic capacities, St. Petersburg Math. J., Volume 17 (2006), pp. 641-682

[4] N. Nikolski Operators, Function, and Systems: An Easy Reading, vol. 1, AMS, Providence, 2002

[5] N. Nikolski Treatise on the Shift Operator, Springer-Verlag, Berlin, 1986

[6] N. Nikolski; S.A. Khrushchev Function model and some problems in the spectral theory of functions, Trudy Mat. Inst. Steklov., Volume 176 (1987), pp. 97-210 (in Russian). English transl.: Proc. Steklov Inst. Math. 3 (1988) 101–214

Cited by Sources:

Comments - Policy