A new characterisation of idempotent states on finite and compact quantum groups

Uwe Franz; Adam Skalski

doi:10.1016/j.crma.2009.06.015

Algebra/Functional Analysis

A new characterisation of idempotent states on finite and compact quantum groups
[Une nouvelle caractérisation des états idempotents sur des groupes quantiques finis ou compacts]

Présenté par : Gilles Pisier

Uwe Franz ¹ ; Adam Skalski ²

¹ Département de mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté, 16, route de Gray, 25030 Besançon, France
² Department of Mathematics and Statistics, Lancaster University, Lancaster, United Kingdom

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 17-18, pp. 991-996.

Résumé
Abstract

Nous donnons une caractérisation des états idempotents sur un groupe quantique fini en termes des pré-sous-groupes introduits par Baaj, Blanchard, et Skandalis, et en déduisons un isomorphisme entre le réseau des états idempotents et le réseau des sous-algèbres coïdéales d'un groupe quantique fini. Cet isomorphisme s'étend aux groupes quantiques compacts, si on le restreind au sous-algèbres coïdéales expectées.

We show that idempotent states on finite quantum groups correspond to pre-subgroups in the sense of Baaj, Blanchard, and Skandalis. It follows that the lattices formed by the idempotent states on a finite quantum group and by its coidalgebras are isomorphic. We show, furthermore, that these lattices are also isomorphic for compact quantum groups, if one restricts to expected coidalgebras.

Reçu le : 2009-06-02
Accepté le : 2009-06-25
Publié le : 2009-07-22

DOI : 10.1016/j.crma.2009.06.015

Affiliations des auteurs :

Uwe Franz ¹ ; Adam Skalski ²

¹ Département de mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté, 16, route de Gray, 25030 Besançon, France
² Department of Mathematics and Statistics, Lancaster University, Lancaster, United Kingdom

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Uwe Franz; Adam Skalski. A new characterisation of idempotent states on finite and compact quantum groups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 17-18, pp. 991-996. doi : 10.1016/j.crma.2009.06.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.06.015/

Bibliographie
Cité par

[1] S. Baaj; E. Blanchard; G. Skandalis Unitaires multiplicatifs en dimension finie et leurs sous-objets, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 49 (1999) no. 4, pp. 1305-1344

[2] S. Baaj; G. Skandalis Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de $C^{*}$ -algèbres, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 26 (1993) no. 4, pp. 425-488

[3] E. Bedos; G.J. Murphy; L. Tuset Co-amenability of compact quantum groups, J. Geom. Phys., Volume 40 (2001) no. 2, pp. 130-153

[4] U. Franz, A.G. Skalski, Idempotent states on compact quantum groups, , J. Algebra (2009), doi: , in press | arXiv | DOI

[5] U. Franz; A.G. Skalski; R. Tomatsu Classification of idempotent states on the compact quantum groups $U_{q} (2)$ , ${SU}_{q} (2)$ , and ${SO}_{q} (3)$ , 2009 | arXiv

[6] H. Heyer Probability Measures on Locally Compact Groups, Springer-Verlag, Berlin, 1977

[7] G.I. Kac Group extensions which are ring groups, Mat. Sb. (N.S.), Volume 76 (1968) no. 118, pp. 473-496

[8] Y. Kawada; K. Itô On the probability distribution on a compact group, I, Proc. Phys.-Math. Soc. Japan (3), Volume 22 (1940), pp. 977-998

[9] M.B. Landstad; A. van Daele Compact and discrete subgroups of algebraic quantum groups, I, 2007 | arXiv

[10] A. Maes; A. van Daele Notes on compact quantum groups, Nieuw Arch. Wisk. (4), Volume 16 (1998) no. 1–2, pp. 73-112

[11] A. Pal A counterexample on idempotent states on a compact quantum group, Lett. Math. Phys., Volume 37 (1996) no. 1, pp. 75-77

[12] P. Podleś Symmetries of quantum spaces. Subgroups and quotient spaces of quantum $SU (2)$ and $SO (3)$ groups, Comm. Math. Phys., Volume 170 (1995) no. 1, pp. 1-20

[13] A. Van Daele The Haar measure on finite quantum groups, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 125 (1997) no. 12, pp. 3489-3500

[14] S.L. Woronowicz Compact matrix pseudogroups, Comm. Math. Phys., Volume 111 (1987), pp. 613-665

[15] S.L. Woronowicz Compact quantum groups (A. Connes; K. Gawedzki; J. Zinn-Justin, eds.), Symétries Quantiques, Les Houches Session LXIV, 1995, Elsevier Science, 1998, pp. 845-884

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