[About the Poincaré–Lyapunov theorem and necessary conditions for the existence of a center]
Since the end of the XIX century, the “center–focus” problem interested many people. However, up to now, it was solved only for particular families of differential systems. In this Note, with the help of a new matricial presentation, we re-visit the Poincaré–Lyapunov theorem and we give a “direct” computational method of the conditions of a center for some differential systems.
Posé au XIXème siècle par Lyapunov et Poincaré, le problème du « centre–foyer » n'a été résolu que pour des cas particuliers. Dans cette Note, grâce à une présentation matricielle et sans passer aux coordonnées polaires, on « revisite » le théorème de Poincaré–Lyapunov et on décrit une méthode « directe » de calcul des conditions d'existence d'un centre pour une famille de systèmes différentiels.
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Driss Boularas 1
@article{CRMATH_2009__347_19-20_1129_0, author = {Driss Boularas}, title = {Th\'eor\`eme de {Poincar\'e{\textendash}Lyapunov} et conditions n\'ecessaires d'existence d'un centre}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {1129--1134}, publisher = {Elsevier}, volume = {347}, number = {19-20}, year = {2009}, doi = {10.1016/j.crma.2009.07.009}, language = {fr}, }
Driss Boularas. Théorème de Poincaré–Lyapunov et conditions nécessaires d'existence d'un centre. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 19-20, pp. 1129-1134. doi : 10.1016/j.crma.2009.07.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.07.009/
[1] Équations d'amorçage d'intégrales premières formelles, Linear Multilinear Algebra, Volume 56 (2006) no. 3, pp. 219-233
[2] Determinantal analysis of the polynomial integrability of differential systems, Bul. Acad. Stintse, Volume 56 (2008) no. 1
[3] Détermination et intégration d'une certaine classe d'équations différentielles ayant pour point singulier un centre, Bull. Sci. Math., Volume 32 (1908), pp. 230-252
[4] Successive derivatives of a first return map, application to the study of quadratic vector fields, Ergodic Theory & Dynamical Systems, Volume 16 (1996), pp. 87-96
[5] Centre and isochronicity conditions for systems with homogeneous nonlinearities, Proceedings of the 2nd Catalan Days on Applied Mathematics, Presses Universitaires de Perpignan, 1995, pp. 106-116
[6] The nondegenerate center problem and the inverse integrating factor, Bull. Sci. Math., Volume 130 (2006), pp. 152-161
[7] Mémoire sur les courbes définies par les équations différentielles, Journal de Mathématiques, Oeuvres de Henri Poincaré, vol. I, Gauthiers-Villars, Paris, 1951, pp. 3-84
[8] Algebraic Invariants of Differential Equations and Matrices, Schtiintsa, Kishinev, Moldova, 1976 (en russe)
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